matlab如何求两向量间的夹角_向量代数与空间解析几何-向量代数

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向量及其表达形式

既有大小又有方向的量叫做向量.

向量的表达形式

向量的运算与应用

设

均不是零向量.

(1)数量积(内积、点积)及其应用.

1.

2.

,由1,2.

为两向量的夹角.

3.

4.

称为a在b上的投影

(2)向量积(外积、 叉积)及其应用.

1.

其中

用右手规则确定方向(转向角不超过pi),

为两向量夹角.

2.

(3)混合积及其应用.

三向量共面.

向量的方向角与方向余弦

(1)向量

与

轴

轴

轴正方向的夹角

,

,

称为 方向角.

(2)

,

,

称为向量

的 方向余弦,且

,

,

(3)

称为向量

的单位向量.

(4)任意向量

其中

为

的方向余弦,

为

的模,

,

.

公式证明以及性质推导:

(1)向量积:

Image 对于标准正交基

,有:

通过叉乘的反对称性,有:

(2)混合积(标量三重积)

一般形式为:

,也可写作:

.由于叉积计算优先级是高于点积的,因此这样也不会产生歧义.

例题

例1:在平行四边形ABCD中,设

用

表示向量

为平行四边形的交点.

Image

例2:求解以向量为元的线性方程组

其中

解得

例3:已知点

以及实数

,在直线

上求点

,使

由于

所以

所以

例4:求证以

三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

因为

所以是等腰三角形.

例5:在z轴上求与两点

和

等距离的点.

设该点为

,那么有:

解得:

例6:已知两点

和

,求与向量

方向相同的单位向量

.

.

例7:已知两点

和

,计算向量

的模长,方向余弦,方向角.

.

例8:设点

位于第一卦限,向经

与

轴的夹角依次为

,且

求点A的坐标.

设

,与

轴夹角依次为:

,那么有:

,

.

.

所以

例9:设正方体的一条对角线为

,一条棱为

,且

,求

在

方向上的投影

.

将正方体看做符合左手规则的空间直角坐标系,对角线的3个方向余弦相等,所以

夹角

的余弦值

.

例10:用向量证明三角形的余弦定理.

Image

设在

中,

要证

记

,那么有:

.

例11:已知三点

,求

.

.

所以

.

例12:设

和

,计算

.

例13:已知三角形ABC的顶点分别是

,求三角形ABC的面积.

为

.

.

例14:设刚体以等角速度

绕

轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.

Image

如图,用向量

表示角速度,设M到旋转轴的距离为

,在l轴取一点O做向量

与

轴夹角为

.

设线速度为向量

,由大小关系可知

方向垂直于

所以:

.

例15:已知

四点共面,求点M的坐标

所满足的关系.

三向量共面

.