matlab如何求兩向量間的夾角_向量代數與空間解析幾何-向量代數

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向量及其表達形式

既有大小又有方向的量叫做向量.

向量的表達形式

向量的運算與應用

設

均不是零向量.

(1)數量積(内積、點積)及其應用.

1.

2.

,由1,2.

為兩向量的夾角.

3.

4.

稱為a在b上的投影

(2)向量積(外積、 叉積)及其應用.

1.

其中

用右手規則确定方向(轉向角不超過pi),

為兩向量夾角.

2.

(3)混合積及其應用.

三向量共面.

向量的方向角與方向餘弦

(1)向量

與

軸

軸

軸正方向的夾角

,

,

稱為 方向角.

(2)

,

,

稱為向量

的 方向餘弦,且

,

,

(3)

稱為向量

的機關向量.

(4)任意向量

其中

為

的方向餘弦,

為

的模,

,

.

公式證明以及性質推導:

(1)向量積:

Image 對于标準正交基

,有:

通過叉乘的反對稱性,有:

(2)混合積(标量三重積)

一般形式為:

,也可寫作:

.由于叉積計算優先級是高于點積的,是以這樣也不會産生歧義.

例題

例1:在平行四邊形ABCD中,設

用

表示向量

為平行四邊形的交點.

Image

例2:求解以向量為元的線性方程組

其中

解得

例3:已知點

以及實數

,在直線

上求點

,使

由于

是以

是以

例4:求證以

三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.

因為

是以是等腰三角形.

例5:在z軸上求與兩點

和

等距離的點.

設該點為

,那麼有:

解得:

例6:已知兩點

和

,求與向量

方向相同的機關向量

.

.

例7:已知兩點

和

,計算向量

的模長,方向餘弦,方向角.

.

例8:設點

位于第一卦限,向經

與

軸的夾角依次為

,且

求點A的坐标.

設

,與

軸夾角依次為:

,那麼有:

,

.

.

是以

例9:設正方體的一條對角線為

,一條棱為

,且

,求

在

方向上的投影

.

将正方體看做符合左手規則的空間直角坐标系,對角線的3個方向餘弦相等,是以

夾角

的餘弦值

.

例10:用向量證明三角形的餘弦定理.

Image

設在

中,

要證

記

,那麼有:

.

例11:已知三點

,求

.

.

是以

.

例12:設

和

,計算

.

例13:已知三角形ABC的頂點分别是

,求三角形ABC的面積.

為

.

.

例14:設剛體以等角速度

繞

軸旋轉,計算剛體上一點M的線速度.

Image

如圖,用向量

表示角速度,設M到旋轉軸的距離為

,在l軸取一點O做向量

與

軸夾角為

.

設線速度為向量

,由大小關系可知

方向垂直于

是以:

.

例15:已知

四點共面,求點M的坐标

所滿足的關系.

三向量共面

.