有了《傅里叶光学（一）》的基础之后，本节开始正式引入“傅里叶变换”这个概念。
傅里叶变换
1. 周期信号及其傅里叶级数
假设一个函数的周期为
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，即对于任意
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，有
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 这个函数可能是简单的正弦信号，或者是任意的复杂信号，只要在间隔为
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 的周期中有有限的最大值和最小值。我们自定义一个周期为
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 的函数，频率
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，那么函数可以写成
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 对于一个正弦曲线来说，周期为
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，但考虑到
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 的存在，第
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 个正弦曲线的频率为
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，周期为
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 。由于
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 是整数，所以在一个大的周期间隔
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 中，会有
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 个小周期。正负频率
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 是这个信号的基波频率，
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 是这个信号的
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 次谐波频率。
系数矩阵
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 表示了不同谐波对整个信号的贡献程度，系数矩阵
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 可以这样计算：
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 这是将傅里叶级数写成了复指数形式，这种形式在使用时最为方便。若是函数的值为实数，那么可以写成sin和cos的形式取而代之：
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 举个例子，定义一个周期性的方波函数：
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 该函数
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，带入到
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 的计算公式中：
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 从该表达式的结果来看，这个方波仅由偶次谐波组成。并且随着n的值的增大，谐波叠加后的图形会无限逼近于原始方波。但是无论n的值有多大，在不连续点附近会出现一个固定高度的过冲，n越大，过冲的最大值越靠近不连续点，但其峰值并不下降，而是大约等于原函数在不连续点处跳变值的9%，且在不连续点两侧呈现衰减振荡的形式，这便是吉布斯现象。
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 n次谐波合成方波(图片来源维基百科)
2. 傅里叶积分
傅里叶级数适用于连续的、周期性的函数。但是，大多数真实的物理函数不是周期性的，对于非周期性的函数仍然需要一种类似的分析方法。假设“周期”
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，当周期趋于无穷时，基波频率
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，那么傅里叶级数就变成了傅里叶积分 。
定义傅里叶变换
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 以及傅里叶逆变换
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 当函数
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 对其进行傅里叶变换，我们看看会得到什么结果。
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 这个函数正是
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 函数的形式！那么也就是说，当函数为
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 时，傅里叶变换为
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 。这是一个很重要的结论，在接下来的章节中会继续深入学习。
3. 周期信号的傅里叶积分
回顾刚才两种信号处理的方法，将傅里叶级数与傅里叶变换相结合，假设任意一个周期为
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 的函数，既然是周期函数，那么可以写成傅里叶级数的形式：
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 当
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 是信号的基波频率，将上式傅里叶级数带入到傅里叶变换的公式中，得到表达式：
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 即周期信号的傅里叶变换可以由一系列不同权重的
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 函数组成。
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 傅里叶变换分别为：
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 周期信号正弦、余弦函数的傅里叶变换可以由不同权重的
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 函数表示。对于更复杂的周期函数来说，其傅里叶变换会由更多更复杂的
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 函数表示。
空间中关于
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 的函数，经过傅里叶变换后变成了频域中关于
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 的函数。振幅谱
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 和相位谱
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 能够展现出原始信号
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 的有效信息。比如3.1中，
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 和
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 有相同的振幅
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 ，但是角度不同
常见函数傅里叶变换表_《傅里叶光学（二）》 傅里叶变换 。在接下来的章节会继续学习他们的特性。
