1随机事件与概率

1 随机事件及其运算

1.1 随机现象

在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象，随机现象有两个特点：

1. 结果不止一个
2. 哪一个结果出现，人们事先并不知道

1.2 样本空间

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为 Ω = { ω } \Omega=\{\omega\} Ω={ω}，其中 ω \omega ω表示基本结果，又称为样本点。

需要注意的是：

1. 样本空间中的元素可以是数也可以不是数
2. 样本空间至少有两个样本点
3. 我们将样本点的个数为有限个或可列个的称为离散样本空间。将样本点的个数为不可列或无限个的情况称为连续样本空间。

1.3 随机事件

随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母 A , B , C , . . . A,B,C,... A,B,C,...表示。对事件的定义需要注意以下几点：

1. 任一事件A是相应样本空间的一个子集
2. 当子集 A A A中某个样本点出现了，就说事件 A A A发生了
3. 由样本空间 Ω \Omega Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件。而样本空间 Ω \Omega Ω的最大子集（即 Ω \Omega Ω本身）称为必然事件。样本空间 Ω \Omega Ω的最小子集（即空集）称为不可能事件。

1.4 随机变量

用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母 X , Y , Z X,Y,Z X,Y,Z表示。

1.5 事件间的关系

1.5.1 包含关系

如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中，或称B包含A，记为 A ⊂ B A\subset B A⊂B。

1.5.2 相等关系

如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B，而且属于B的样本点必属于A，即 A ⊂ B A\subset B A⊂B且 B ⊂ A B\subset A B⊂A，则称事件A与B相等，记为A=B。

1.5.3 互不相容

如果A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容。

1.6 事件间的运算

1.6.1 事件A与B的并

记为 A ∪ B A\cup B A∪B，其含义为“由事件A与B中所有的样本点组成的新事件”

1.6.2 事件A与B的交

记为 A ∩ B A\cap B A∩B，或简记为 A B AB AB，其含义为“由事件A与B中公共的样本点组成的新事件”

1.6.3 事件A对B的差

记为 A − B A-B A−B，或简记为 A B ‾ A\overline{B} AB，其含义为“由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件”。

1.6.4 对立事件

事件A的对立事件，记为 A ‾ \overline{A} A，即“由在 Ω \Omega Ω中而不在 A A A中的样本点组成的新事件”。

1.6.5 事件的运算性质

交换律：

A ∪ B = B ∪ A , A B = B A ( 1.1.1 ) A\cup B=B\cup A,\quad AB=BA\quad(1.1.1) A∪B=B∪A,AB=BA(1.1.1)

结合律：

( A ∪ B ) ∪ C = A ( B ∪ C ) ( 1.1.2 ) ( A B ) C = A ( B C ) ( 1.1.3 ) (A\cup B)\cup C=A(B\cup C)\quad(1.1.2)\\ (AB)C=A(BC)\quad(1.1.3) (A∪B)∪C=A(B∪C)(1.1.2)(AB)C=A(BC)(1.1.3)

分配律：

( A ∪ B ) ∩ C = A C ∪ B C ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (A\cup B)\cap C=AC\cup BC\\ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C) (A∪B)∩C=AC∪BC(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

对偶律（德摩根公式）：

A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\\ \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B} A∪B=A∩BA∩B=A∪B

1.7 事件域

所谓的“事件域”从直观上讲就是一个样本空间中某些子集及其运算（并、交、差、对立）结果而组成的集合类，以后记事件域为 F \mathscr{F} F。

待补充 20

2 概率的定义及其确定方法

3 概率的性质

性质 1.3.1 ： P ( ∅ ) = 0 P(\emptyset)=0 P(∅)=0

3.1 概率的可加性

性质1.3.2 （有限可加性）若有限个事件 A 1 , A 2 , … , A n A_1,A_2,\dots,A_n A1​,A2​,…,An​互不相容，则有：

P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i) P(i=1⋃n​Ai​)=i=1∑n​P(Ai​)

性质1.3.3 对仁义事件A，有：

P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) P(\overline{A})=1-P(A) P(A)=1−P(A)

3.2 概率的单调性

性质1.3.4 若 A ⊃ B A\supset B A⊃B，则：

P ( A − B ) = P ( A ) − P ( B ) P(A-B)=P(A)-P(B) P(A−B)=P(A)−P(B)

推论（单调性） 若 A ⊃ B A\supset B A⊃B，则 P ( A ) ≥ P ( B ) P(A)\ge P(B) P(A)≥P(B)

性质 1.3.5 对任意两个事件A，B，有：

P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)

3.3. 概率的加法公式

性质 1.3.6 （加法公式） 对任意两个事件A，B，有：

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

对任意n个事件 A 1 , A 2 , … , A n A_1,A_2,\dots,A_n A1​,A2​,…,An​，有：

P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) − ∑ 1 ≤ i < j ≤ P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)-\sum\limits_{1\le i<j\le} P(i=1⋃n​Ai​)=i=1∑n​P(Ai​)−1≤i<j≤∑​

4 条件概率

4.1 条件概率的定义

条件概率指在某事件 B B B发生的条件下，求另一事件 A A A的概率，记为 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)，它与 P ( A ) P(A) P(A)是不同的两类概率。

定义1.4.1 设 A A A与 B B B是样本空间 Ω \Omega Ω中的两事件，若 P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0，则称：

P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)​

为“在 B B B发生下A的条件概率”，简称条件概率。

4.2 乘法公式

性质1.4.2 乘法公式

若 P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0，则：

P ( A B ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) P(AB)=P(B)P(A|B) P(AB)=P(B)P(A∣B)

若KaTeX parse error: Undefined control sequence: \dotsA at position 9: P(A_1A_2\̲d̲o̲t̲s̲A̲_{n-1})>0，则：

P ( A 1 … A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) … P ( A n ∣ A 1 … A n − 1 ) P(A_1\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\dots P(A_n|A_1\dots A_{n-1}) P(A1​…An​)=P(A1​)P(A2​∣A1​)P(A3​∣A1​A2​)…P(An​∣A1​…An−1​)

4.3 全概率公式

性质 1.4.3 全概率公式 设 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1​,B2​,…,Bn​为样本空间 Ω \Omega Ω的一个分割（如图1.4.2所示），即 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1​,B2​,…,Bn​互不相容，且 ⋃ i = 1 n B i = Ω \bigcup\limits_{i=1}^nB_i=\Omega i=1⋃n​Bi​=Ω，如果 P ( B i ) > 0 , i = 1 , 2 , … , n P(B_i)>0,i=1,2,\dots,n P(Bi​)>0,i=1,2,…,n，则对任一事件A有：

P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A)=\sum\limits_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i) P(A)=i=1∑n​P(Bi​)P(A∣Bi​)

对于全概率公式，我们要注意以下两点：

1. 全概率公式的最简单形式：假如 0 < P ( B ) < 1 0<P(B)<1 0<P(B)<1，则：

   P ( A ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) + P ( B ‾ ) P ( A ∣ B ‾ ) P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B}) P(A)=P(B)P(A∣B)+P(B)P(A∣B)

2. 条件 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1​,B2​,…,Bn​为样本空间的一个分割，可改成 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1​,B2​,…,Bn​互不相容，且 A ⊂ ⋃ i = 1 n B i A\subset\bigcup\limits_{i=1}^nB_i A⊂i=1⋃n​Bi​，定理1.4.3仍然成立

4.4 贝叶斯公式

性质 1.4.4 （贝叶斯公式） 设 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1​,B2​,…,Bn​是样本空间 Ω \Omega Ω的一个分割，即 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1​,B2​,…,Bn​互不相容，且 ⋃ i = 1 n B i = Ω \bigcup\limits_{i=1}^nB_i=\Omega i=1⋃n​Bi​=Ω，如果 P ( A ) > 0 , P ( B i ) > 0 , i = 1 , 2 , … , n P(A)>0,P(B_i)>0,i=1,2,\dots,n P(A)>0,P(Bi​)>0,i=1,2,…,n，则：

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