我以前想到的方法
以前我想到的一种方式是二分法；
假设求根号 2 的平方根；
假设最开始 min = 1.0，max = 2.0；
则它们的中间值 val = (min+max)/2.0；
然后判断 num = val*val 的结果，
如果 num > 2；则 max = val；
如果 num < 2；则 min = val；
如果 num = 2；则算术平方根是 val，返回。
当然有人会问，一直不等于能，当然我们可以设置计算次数；
比如执行超过 20 次后就返回，这样可以避免无线循环下去。
然而这种方法的收敛速度实在太慢，导致要计算很多次才能达到比较高的精度。
牛顿的方法
网上看到一个说是牛顿的计算方法，假设 f(x) = x^2-2；
在 x^2-2 的曲线上面，先找一个点 A(X0,Y0)，
过点 A 做曲线的切线交 x 轴于 B(X1,0);
找到当前点 B 对应曲线上的点 C(X1,Y1);
过点 C 做曲线的切线交 x 轴于 D(X2,0);
找到当前点 D 对应曲线上的点 E(X2,Y2);
过点 E 做曲线的切线交 x 轴于 F(X3,0);
……
按照这个过程一直下去，B D F……将会离曲线与 x 轴的交点越来越近，即逼近原理。
转换成数学方法
那上面的坐标如何求取呢，对于点 A ，可以带入一个方便的坐标 (1,-1)；
由于 CD 是切线，点 C 为切点，则有如下关系：
斜率 y' = BC/BD
而：BD 可以看成是点 B 的 x 轴坐标减去点 D 的 x 轴坐标，即 BD = X1-X2；
BC 就是 C 点的 y 值，即 Y1；
上面关系就变成： y' = Y1/(X1-X2)
转换一下： X1-X2 = Y1/y'
则： X2 = X1-Y1/y'
转换成标准的写法，则有： Xn = Xn-1 - f(Xn-1) / f '(Xn-1)
对于曲线 x^2-2 任意一点的切线可以根据多项式导数方式获取，即 f '(Xn-1) = 2x；
则有 Xn = Xn-1 - f(Xn-1) / 2x;
将 A 点 (X0,Y0) 由曲线上的点 (1,-1) 带入时，
X1 = 1 - (-1/2*1) = 1.5； 此时 Y1 = 1.5^2-2 = 2.25-2 = 0.25；
X2 = 1.5 - 0.25/2*1.5 = 1.416666……667； 此时 Y1 = 0.0069444444……
以此类推
X6 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753772…….
对比网上查找到的根号 2 前 100 为如下：
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850……
可以看到 X6 写出来的，仅仅是最后两位开始不一样。可见运算次数仅仅 6 次，精度已经如此高了。
代码实现
由于 C/C++ 没找到比较稳定的高精度计算数据类，在此用 Python 代替了。
实现代码如下：
from decimal import Decimal
from decimal import getcontext
work_context = getcontext()
work_context.prec = 1000 // 有兴趣的可以试试更高精度
num = Decimal(2) // 需要开方的数，可以试试 3，5，7，11 ......
def Xn(x, y):
x -= y/(x*Decimal(2))
y = x*x-num
return (x,y)
x = Decimal(1)
y = x*x-num
for i in range(0,20): // 计算 20 次精度已经非常高了
x, y = Xn(x, y)
print(x)
第 20 次结果：(好像精度已经达到 1000 位了)
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462
10703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993
58314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620
14728517418640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253
39654633180882964062061525835239505474575028775996172983557522033753185701135
43746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215
80578463111596668713013015618568987237235288509264861249497715421833420428568
60601468247207714358548741556570696776537202264854470158588016207584749226572
26002085584466521458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003
18648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112
75736272804957381089675040183698683684507257993647290607629969413804756548237
28997180326802474420629269124859052181004459842150591120249441341728531478105
80360337107730918286931471017111168391658172688941975871658215212822951848847
是不是感到震惊，代码竟然如此短！？
是的，没有看错，就这么一点点。
有兴趣的小伙伴可以试试 https://tool.lu/coderunner/ 的在线编译器；
左上角选择 Python 然后复制上面的代码，运行看看结果。(如上图)
按照同样的方式，大家是不是可以扩展出 3 次， 5 次……等等的开方计算方式了？
总结
有时候思路正确了，所要做的反而就很少了！
对于其他特殊值，如圆周率 π ，自然数 e 则有泰勒多项式展开形式。
有兴趣的小伙伴可以用代码写的试试。