标量 向量 标量求导链式法则_微积分II 方向导数与梯度向量 14.5 (12)

来到Section 14.5 Directional Derivatives and Gradient Vectors了，方向导数与梯度向量。本章依靠前文知识，没看过的读者可以先复习：

链式法则

Jerry：Calculus II Review: Section 14.4 (11)​zhuanlan.zhihu.com

偏导数

Jerry：Calculus II Review: Section 14.3 (10)​zhuanlan.zhihu.com

方向导数

曾经，我们说偏导(partial derivatives)是平行于坐标轴方向上的导数，其实这个概念可以再拓展：沿着任意方向求导的想法怎么样？（前提是定义域内曲面圆滑）

方向导数的概念

首先标明方向：令向量

为方向向量，可知

且

for

假设

是定义在

平面上的可微函数，

是点

在

方向上的导数，则

记为

有几点可以帮助理解：

1、偏导是方向导数的

特例

：当

时，

当

时，

2、

是

标量

，

是

单位方向向量

，不要弄混了。这个定义式的意思是在方向

上前进一个微小的距离，并求出函数值

的改变量。

3、表示方法中

是求导的方向，

是求导的点。

4、方向导数求出来是

实数

，因为它是导数，是一个方向上函数的变化率。

Example: using the definition, find the derivative of

at

in the direction of the unit vector

方向导数的计算方法

上一节课中，我们讲了链式法则Pro版本：

在这里我们可以利用这个公式简化方向导数的计算，这样就不用每次都套定义去做了。（上面最简单的题目用公式也会显得很复杂，但有时候证明题只能从定义入手哦！）首先，我们定义

这样我们就约好了一个链

因此有

于是上手链式法则：

这样就出来了（其实上课的时候我没有好好推导，现在才真正搞懂233。希望数学老师看到不要发飙。）

梯度向量

上面的式子可以改写一下：

在这个向量求内积的等价式子中，前项称为梯度向量，后项就是

.

梯度向量

Definition: the

gradient vector

of

at a point

is the vector

obtained by evaluating the partial derivatives of

at

(冷知识：nabla是什么符号？它在本章出现过)

所以

(

是单位向量，

是

和

的夹角)。

因此我们又可以推出以下性质：

1、同一个点沿梯度向量方向的方向导数最大，因为此时

2、同一个点沿梯度向量反向的方向导数最小，因为此时

3、

垂直

于梯度方向的方向导数为零。

4、

垂直

于梯度方向的是切线。本条与上一条性质（3）相关。对，对于在一条曲线

上的曲面

两侧求导可得：

,可见，由于内积为零，梯度向量与切向量垂直。

再进一步，我们还可以令

这个倒三角符号(gradient读作grad).

这章的主要内容到这里其实差不多了，但还有一些细节问题，我想直接通过截图解决

求切线公式

方向导数满足的一些计算法则

三元函数的梯度向量与方向导数

沿曲线方向求导

Reference

Thomas, G., Weir, M., & Hass, J. (2014).Thomas' calculus(Thirteenth ed.).