标量 向量 标量求導鍊式法則_微積分II 方向導數與梯度向量 14.5 (12)

來到Section 14.5 Directional Derivatives and Gradient Vectors了，方向導數與梯度向量。本章依靠前文知識，沒看過的讀者可以先複習：

鍊式法則

Jerry：Calculus II Review: Section 14.4 (11)​zhuanlan.zhihu.com

偏導數

Jerry：Calculus II Review: Section 14.3 (10)​zhuanlan.zhihu.com

方向導數

曾經，我們說偏導(partial derivatives)是平行于坐标軸方向上的導數，其實這個概念可以再拓展：沿着任意方向求導的想法怎麼樣？（前提是定義域内曲面圓滑）

方向導數的概念

首先标明方向：令向量

為方向向量，可知

且

for

假設

是定義在

平面上的可微函數，

是點

在

方向上的導數，則

記為

有幾點可以幫助了解：

1、偏導是方向導數的

特例

：當

時，

當

時，

2、

是

标量

，

是

機關方向向量

，不要弄混了。這個定義式的意思是在方向

上前進一個微小的距離，并求出函數值

的改變量。

3、表示方法中

是求導的方向，

是求導的點。

4、方向導數求出來是

實數

，因為它是導數，是一個方向上函數的變化率。

Example: using the definition, find the derivative of

at

in the direction of the unit vector

方向導數的計算方法

上一節課中，我們講了鍊式法則Pro版本：

在這裡我們可以利用這個公式簡化方向導數的計算，這樣就不用每次都套定義去做了。（上面最簡單的題目用公式也會顯得很複雜，但有時候證明題隻能從定義入手哦！）首先，我們定義

這樣我們就約好了一個鍊

是以有

于是上手鍊式法則：

這樣就出來了（其實上課的時候我沒有好好推導，現在才真正搞懂233。希望數學老師看到不要發飙。）

梯度向量

上面的式子可以改寫一下：

在這個向量求内積的等價式子中，前項稱為梯度向量，後項就是

.

梯度向量

Definition: the

gradient vector

of

at a point

is the vector

obtained by evaluating the partial derivatives of

at

(冷知識：nabla是什麼符号？它在本章出現過)

是以

(

是機關向量，

是

和

的夾角)。

是以我們又可以推出以下性質：

1、同一個點沿梯度向量方向的方向導數最大，因為此時

2、同一個點沿梯度向量反向的方向導數最小，因為此時

3、

垂直

于梯度方向的方向導數為零。

4、

垂直

于梯度方向的是切線。本條與上一條性質（3）相關。對，對于在一條曲線

上的曲面

兩側求導可得：

,可見，由于内積為零，梯度向量與切向量垂直。

再進一步，我們還可以令

這個倒三角符号(gradient讀作grad).

這章的主要内容到這裡其實差不多了，但還有一些細節問題，我想直接通過截圖解決

求切線公式

方向導數滿足的一些計算法則

三元函數的梯度向量與方向導數

沿曲線方向求導

Reference

Thomas, G., Weir, M., & Hass, J. (2014).Thomas' calculus(Thirteenth ed.).