罗德里格斯公式(Rodrigues‘ Rotation Formula)推导

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• 写在前面
• 罗德里格斯公式
• • 推导
  • 几种表达方式
• 参考
• 完

写在前面

1、本文内容

罗德里格斯公式(Rodrigues’ Rotation Formula)推导

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https://blog.csdn.net/qq_41102371/article/details/125984085

罗德里格斯公式

推导

先放这，有空来推一遍

几种表达方式

K K K是 k k k的叉乘矩阵，即 K = k ∧ \mathbf{K}=k^{\land} K=k∧,( k k k的叉乘矩阵也可表示为 k × k_{\times} k×​)

1、

R = I + ( 1 − cos ⁡ θ ) K 2 + ( sin ⁡ θ ) K \mathbf{R}=\mathbf{I}+(1-\cos\theta)\mathbf{K}^2+(\sin\theta)\mathbf{K} R=I+(1−cosθ)K2+(sinθ)K

2、

由 K 2 = k ∧ k ∧ = k k T − I \mathbf{K}^2=k^{\land}k^{\land}=kk^T-\mathbf{I} K2=k∧k∧=kkT−I

可得

R = I + ( 1 − cos ⁡ θ ) ( k k T − I ) + ( sin ⁡ θ ) k ∧ = cos ⁡ θ I + ( 1 − cos ⁡ θ ) k k T + ( sin ⁡ θ ) k ∧ \begin{aligned} \mathbf{R}&=\mathbf{I}+(1-\cos\theta)(kk^T-\mathbf{I})+(\sin\theta)k^{\land}\\ &=\cos\theta\mathbf{I}+(1-\cos\theta)kk^T+(\sin\theta)k^{\land} \end{aligned} R​=I+(1−cosθ)(kkT−I)+(sinθ)k∧=cosθI+(1−cosθ)kkT+(sinθ)k∧​

3、

高博的14讲中推导了指数映射

R = e x p ( θ k ∧ ) = cos ⁡ θ I + ( 1 − cos ⁡ θ ) k k T + ( sin ⁡ θ ) k ∧ \mathbf{R}=exp(\theta k^{\land})=\cos\theta\mathbf{I}+(1-\cos\theta)kk^T+(\sin\theta)k^{\land} R=exp(θk∧)=cosθI+(1−cosθ)kkT+(sinθ)k∧

参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues’_rotation_formula

罗德里格斯公式（Rodrigues Formula） https://blog.csdn.net/weixin_40215443/article/details/123950141

二维xy坐标旋转 https://blog.csdn.net/qq_41102371/article/details/116245483#t4

完

如有错漏，敬请指正

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