【数学模拟卷总结】2023李林六套卷数学二第三套

写这个系列是为了逼自己总结，这套写的头疼，丢分主要丢在了线性代数和计算失误

题目复盘

1. 按答案那样换元之后将 F ( x ) F(x) F(x)与 x n x^n xn做比较，即做极限 lim ⁡ x → 0 F ( x ) x n \lim_{x \to 0} \limits \frac{F(x)}{x^{n}} x→0lim​xnF(x)​，然后用两次洛必达得到 lim ⁡ x → 0 f ( x ) n ( n − 1 ) x n − 2 \lim_{x \to 0} \limits \frac{f(x)}{n(n-1)x^{n-2}} x→0lim​n(n−1)xn−2f(x)​，然后看题给极限，能估出题给极限中 f ( x ) f(x) f(x)是一阶（用泰勒把 e x e^x ex展开），然后 n − 2 = 1 n-2=1 n−2=1即 n = 3 n=3 n=3
2. 看一看无定义点，分母为0之类的点，求一下左右极限对比一下就算出来了
3. 把参数 a a a分离到一边就求出来了
4. 解的线性组合的系数和为0就是齐次方程通解，只有D选项的线性组合系数和为0，其他选项比如A选项，两个任意常数，并不能保证系数组合的系数和一定为0，万一还有其他情况呢。
5. 去年李六的原题，套一下无穷等比求和公式就行。
6. **答案说取特例或者严格证明，我有另一种方法：

   

   

   第二个不等式的证明方法和答案一样，这个题目蛮好的，记录一下

   

   

7. 求一阶偏导数发现有 s i n x = 0 sinx=0 sinx=0这样的方程，然后就把无穷多个驻点分为 2 k π 2k\pi 2kπ和 ( 2 k + 1 ) π (2k+1)\pi (2k+1)π进行讨论就得出结果了。
8. **这题我在模拟考试的时候举的特例，现在重新严格做一下：

   

   做这个题有一个经典的结论我忘记了，A的每一行元素的和为某个数，则这个数为该矩阵的特征值，现在给出证明：

   【*】有 n n n阶方阵 A = ( a i j ) n × n \boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} A=(aij​)n×n​且 ∑ j = 1 n a i j = λ ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) \sum_ {j=1}^{n}\limits a_{i j}=\lambda (i=1,2, \cdots, n) j=1∑n​aij​=λ(i=1,2,⋯,n)，证明： λ \lambda λ是方阵 A \boldsymbol A A的特征值， α = ( 1 , 1 , . . . , 1 ) T \alpha = (1,1,...,1)^{T} α=(1,1,...,1)T是方阵 A \boldsymbol A A的属于特征值 λ \lambda λ的特征向量。

   【证明】

   

   还要用到这个结论： r ( A ∗ ) = { n , r ( A ) = n , 1 , r ( A ) = n − 1 , 0 , r ( A ) < n − 1 r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll} n, & r(\boldsymbol{A})=n, \\ 1, & r(\boldsymbol{A})=n-1, \\ 0, & r(\boldsymbol{A})<n-1 \end{array}\right. r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧​n,1,0,​r(A)=n,r(A)=n−1,r(A)<n−1​

   

   选（D）
9. ***这题我做错了，这题取 c = 0 c=0 c=0然后排除（B）和（C）选项，最后还是没想通，后来经过复盘发现，这个知识点是初等列变换不改变矩阵的秩，重新复盘如下：

   

   

10. 配方法做一下就行，我在考场上做的麻烦，还求了逆矩阵，实际没必要，直接就能反解那个方程组，又快又准。
11. ***这题我算错了，题给隐函数形式没有不可导点，其一阶导的隐函数形式也没有不可导点，一阶连续可导，可以洛必达，然后再用一次导数定义（这样比较稳妥，实际上这个隐函数二阶连续可导，可以再洛必达一次），模考的时候算错了，重新复盘如下：

    

1. ***这题我做错了，这题我大意了，它只说它有一阶连续偏导数，没说二阶可导，二阶导数要用定义做，我直接去求了二阶偏导数，形式太复杂了，实际上就算说了二阶连续可导但是偏导数形式复杂也别直接求，应该用定义做，而且 x x x和 y y y还有对称性，遇到这种题我以后要注意，重新复盘如下：

   

1. 令一阶偏导数为0，解出两个驻点，分别用充分条件判断一下就做出来了，就是别忘了驻点还有 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)即可

2. ***这题我马虎了，没看到题目说的 x ≥ 0 x\ge0 x≥0，直接按全部定义域做了，重新复盘如下：

   这个题如果知道这个积分公式将会很快计算完毕： ∫ a 2 − x 2 d x = a 2 2 arcsin ⁡ x a + x 2 a 2 − x 2 + C ( 0 ≤ ∣ x ∣ < a ) \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+C(0 \leq|x|<a) ∫a2−x2

   ​dx=2a2​arcsinax​+2x​a2−x2

   ​+C(0≤∣x∣<a)

   

   

3. 画个示意图就出来了，需要记住的是静水压力 F = ρ g h A F=\rho ghA F=ρghA，其中 A A A为横截面积微元。
4. 这个题要用到这个结论：

   

知道这个结论后，逆矩阵和原矩阵特征向量一直，直接就把题给条件视为原矩阵的特征向量，按特征值和特征向量定义列等式就求出来了。

1. ***这题我做错了，题目是连乘的极限，立刻取对数改成求和走定积分定义，但是这个是魔改的定积分定义，我算错了，重新复盘如下：

1. ***这题我做错了，定常数C居然可以带回那个题给的方程然后再求一次积分，我就定出C大于0，不知道算不算对，也算错了吧，重新复盘如下：

   

   这是模考时没求C的过程：

   

   补上求C的过程：

   

2. **这题我算错数了，算错的地方是最后的加法，小学加减法算错数了，算的太着急了，这个题没必要复盘了。
3. 转成极坐标后再换序比较方便。
4. ***这题第二问没做上，第二问实在没有思路，重新复盘如下:

   

   

照着答案写的，有笔误，F就是G，这个题太难理解了

这个题太难了，我重新复盘一下它的思路：

好恶心的题目，这种思路就记住，利用第一问的 x 0 x_{0} x0​，将区间分为两半，走中值或者零点，如果中值走不通，想到区间两边异号的点。

1. ***这题我做错了，第一问解方程抄错一个数，第二问没有思路，就不详细算了，把答案贴在下面：

   

   

   ![2023-L6-3-22-D-2

   利用对角矩阵的转置也是对角矩阵，然后两边同时取转置就做出来了，很巧妙，我算的特征向量和答案的是不一样的，答案是带入的x1=1,x3=0，把-1的特征向量解出来，也对。

总结

这套卷难度太大了，需要好好复盘，时间紧迫，下周开始不写总结了，我要加油了，必须要加快速度和质量了。