4.1 不定积分的概念与性质
4.1.1 原函数与不定积分的概念
1. 原函数
定义4.1.1 设函数f(x)在区间I上有定义，若存在一个可导函数F(x)，使得区间I上有
F'(x) = f(x) 或 dF(x) = f(x)dx
则称函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。
定理4.1.1 若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + c (c为任意常数) 仍是f(x)的原函数，而且f(x)的任一原函数都可以表示成F(x) + c 的形式。
2.不定积分定义
定义4.1.2 函数f(x)的全体原函数，称为f(x)的不定积分，记作
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 其中
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。
3.不定积分的几何意义
函数f(x)的每一个原函数在直角坐标系xOy中的图形称为f(x)的一条积分曲线，f(x)的所有积分曲线的全体，称为f(x)的积分曲线族。
4.1.2 不定积分的性质
性质1
（1）
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 或
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 （2）
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 或
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 性质2
被积函数中不为0的常数因子，可提到积分号外面，即
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 其中k为常数，且
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 性质3
有限个函数代数和的不定积分，等于各个函数不定积分的代数和，即
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 4.1.3 基本积分公式
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 4.2 积分法
4.2.1 换元积分法
1.第一换元积分法
设所求不定积分为
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 ，而
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 ，且
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 ，则
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 (1)
要证式（1）成立，只要证
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 即可。
2.第二换元积分法
设
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 是单调可导函数，且
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 又
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 ，则
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 4.2.2 分部积分法
设
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 有连续的导函数，由函数乘积的导数公式得：
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 即
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 .
于是
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 对x的积分为：
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 即
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 这就是分部积分公式，应用分部积分公式求不定积分的方法，称为不定积分的分部积分法。
4.3 有理函数的积分
有理函数（或称有理分式）是指由两个实系数多项式
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 与
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 的商
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 所表示的函数，即
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 (1)
其中m为正整数，n为非负整数，且
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 我们总假定
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 与
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 没有公因式。
当
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 时，式（1）称为真分式。
当
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 时，式（1）称为假分式。
下面来说明不定分式
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 的求法：
首先，利用多项式除法，我们总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式和的形式，因多项式的积分容易求得，所以我们只讨论有理真分式的积分。
下设
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 为真分式，它的不定积分可如下求出：
将多项式
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 在实数范围内分解成一次因式和二次因式的乘积：
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 (2)
其中
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 且
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 等都是正整数。
再按
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 的分解结果式（2），将真分式
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 分解为如下部分分式之和：
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 其中
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 及
从零开始学数据分析之——《微积分》第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 积分法 4.3 有理函数的积分 等都是常数。
最后对部分分式进行逐项积分。
