4.1 不定積分的概念與性質
4.1.1 原函數與不定積分的概念
1. 原函數
定義4.1.1 設函數f(x)在區間I上有定義，若存在一個可導函數F(x)，使得區間I上有
F'(x) = f(x) 或 dF(x) = f(x)dx
則稱函數F(x)是f(x)在區間I上的一個原函數。
定理4.1.1 若F(x)是f(x)的一個原函數，則F(x) + c (c為任意常數) 仍是f(x)的原函數，而且f(x)的任一原函數都可以表示成F(x) + c 的形式。
2.不定積分定義
定義4.1.2 函數f(x)的全體原函數，稱為f(x)的不定積分，記作
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 其中
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 稱為積分号，x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式。
3.不定積分的幾何意義
函數f(x)的每一個原函數在直角坐标系xOy中的圖形稱為f(x)的一條積分曲線，f(x)的所有積分曲線的全體，稱為f(x)的積分曲線族。
4.1.2 不定積分的性質
性質1
（1）
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 或
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 （2）
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 或
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 性質2
被積函數中不為0的常數因子，可提到積分号外面，即
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 其中k為常數，且
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 性質3
有限個函數代數和的不定積分，等于各個函數不定積分的代數和，即
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 4.1.3 基本積分公式
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 4.2 積分法
4.2.1 換元積分法
1.第一換元積分法
設所求不定積分為
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 ，而
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 ，且
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 ，則
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 (1)
要證式（1）成立，隻要證
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 即可。
2.第二換元積分法
設
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 是單調可導函數，且
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 又
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 ，則
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 4.2.2 分部積分法
設
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 有連續的導函數，由函數乘積的導數公式得：
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 即
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 .
于是
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 對x的積分為：
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 即
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 這就是分部積分公式，應用分部積分公式求不定積分的方法，稱為不定積分的分部積分法。
4.3 有理函數的積分
有理函數（或稱有理分式）是指由兩個實系數多項式
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 與
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 的商
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 所表示的函數，即
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 (1)
其中m為正整數，n為非負整數，且
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 我們總假定
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 與
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 沒有公因式。
當
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 時，式（1）稱為真分式。
當
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 時，式（1）稱為假分式。
下面來說明不定分式
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 的求法：
首先，利用多項式除法，我們總可以将一個假分式化成一個多項式和一個真分式和的形式，因多項式的積分容易求得，是以我們隻讨論有理真分式的積分。
下設
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 為真分式，它的不定積分可如下求出：
将多項式
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 在實數範圍内分解成一次因式和二次因式的乘積：
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 (2)
其中
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 且
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 等都是正整數。
再按
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 的分解結果式（2），将真分式
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 分解為如下部分分式之和：
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 其中
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 及
從零開始學資料分析之——《微積分》第四章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質4.2 積分法 4.3 有理函數的積分 等都是常數。
最後對部分分式進行逐項積分。
