BZOJ3105 [CQOI2013]新Nim游戏 Solution

题目大意：

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

Sol:

我们第一次拿完后，要使得剩下的火柴中不存在异或和为0的子集，否则对方会将先手必败的状态留给我们。

因此我们需要寻求极大的线性无关组，答案即为总和减去极大线性无关组的权值和。

显然存在线性无关组，因此必然存在解。

那么如何求解极大线性无关组呢？

我们能够证明这是一个拟阵，因此只需要从大到小排序，依次贪心的添加到当前集合就可以了。

有关拟阵的证明：

我们设n个火柴堆的数目为集合S,若某个S的子集r不存在任何一个非空子集异或和0，则r∈I.下面我们证明二元组M=(S,I)是一个拟阵。

遗传性：设A∈I,则A是S的线性无关组，则A的任意非空子集均线性无关，即对A的任意子集B,B均线性无关，因此B∈I,证毕。

交换性：设A,B∈I,且|A|<|B|,我们要证明存在x∈B,使得A∪{x}∈I.利用反证法，假设对于任意x∈B-A,均有A∪{x}不属于I,则B-A中的元素均在A的异或空间中，可由A的子集异或和表示。

因此B中的元素都在A的异或空间中。那么必然有B的异或空间包含于A的异或空间。由|A|<|B|且A,B线性无关，显然矛盾。因此交换性存在，证毕。

从而我们可以使用贪心算法确定最优解。

因此我们采用在线维护线性基的方法判断当前的数能否加入集合。

Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
#define N 110
int n;
int a[N], w[N], ins[30], sav[N], top;
 
int main() {
    scanf("%d", &n);
     
    register int i, j, k;
    for(i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &a[i]);
    sort(a + 1, a + n + 1);
     
    long long tot = 0;
    for(i = 1; i <= n; ++i)
        tot += (w[i] = a[i]);
     
    long long ans = 0;
    for(i = n; i >= 1; --i) {
        for(j = 29; j >= 0; --j) {
            if ((a[i] >> j) & 1) {
                if (!ins[j]) {
                    ins[j] = i;
                    for(k = 1; k <= top; ++k)
                        if ((a[sav[k]] >> j) & 1)
                            a[sav[k]] ^= a[i];
                    sav[++top] = i;
                    break;
                }
                else
                    a[i] ^= a[ins[j]];
            }
        }
        if (a[i])
            ans += w[i];
    }
     
    printf("%lld", tot - ans);
     
    return 0;
}