最短路问题（单源+多源最短路问题）

最短路问题的几种情况及实现模板

最短路的常见情况总结及算法

最短路问题（单源+多源最短路问题）

朴素的Dijkstra算法：（注：若所有权重都相等，可以采取BFS宽度优先搜索来找最短路）

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。

请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出-1。

输入格式

第一行包含整数n和m。

接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示点x和点y之间存在一条有向边，边长为z。

输出格式

输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出-1。

数据范围

1≤n≤500,

1≤m≤105,

图中涉及边长均不超过10000。

输入样例：

3 3

1 2 2

2 3 1

1 3 4

输出样例：

算法思想：两重循环，循环n次，每一次找出路径最短的点，用它来更新其他点的距离（n个点）

算法如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N=510;
int m,n;
int g[N][N],dist[N];
bool st[N];

int dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    for (int i=0;i<n;i++){ //循环n次或者n-1次都可以
        int t=-1;
        for (int j=1;j<=n;j++){
            if(!st[j] && (t==-1 ||dist[t]>dist[j])) 
                t=j;
        }
        st[t]=true;
        for (int j=1;j<=n;j++){
            dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}



int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(g,0x3f,sizeof g);
    while(m--){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        g[a][b]=min(g[a][b],c);
    }
    int t=dijkstra();
    printf("%d\n",t);
    return 0;
    
}

堆优化版的Dijkstra算法

优化点在于找出最短路径的点，用堆来优化，整体思想基本一样

代码如下：

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1e5 + 10;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;

        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    cout << dijkstra() << endl;

    return 0;
}

bellman_ford算法（存在负权变）note：处理最多经过k条边的最短路径只能用此算法

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

请你求出从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，输出impossible。

注意：图中可能存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数n，m，k。

接下来m行，每行包含三个整数x，y，z，表示点x和点y之间存在一条有向边，边长为z。

输出格式

输出一个整数，表示从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出“impossible”。

数据范围

1≤n,k≤500,

1≤m≤10000,

任意边长的绝对值不超过10000。

输入样例：

3 3 1

1 2 1

2 3 1

1 3 3

输出样例：

算法思想：循环k次，每次遍历所有边，更新距离

代码如下：

//单源最短路问题
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N=510,M=10010;

int dist[N],backup[N];
int n,k,m;

struct Edge{
    int a,b,w;
} edges[M];

int bellman_ford(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    for (int i=0;i<k;i++){
        memcpy(backup,dist,sizeof dist);//防止联通，返回状态
        for (int j=0;j<m;j++){
            int a=edges[j].a,b=edges[j].b,w=edges[j].w;
            dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w);
        }
    }
    if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) return -1;
    else return dist[n];
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=0;i<m;i++){
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        edges[i]={a,b,w};
    }
    int t=bellman_ford();
    if(t==-1) puts("impossible");
    else printf("%d\n",t);
    
    return 0;
}

spfa算法

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出impossible。

数据保证不存在负权回路。

输入格式

第一行包含整数n和m。

接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示点x和点y之间存在一条有向边，边长为z。

输出格式

输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出”impossible”。

数据范围

1≤n,m≤105,

图中涉及边长绝对值均不超过10000。

输入样例：

3 3

1 2 5

2 3 -3

1 3 4

输出样例：

优化思想：不需要更新每一条边，只需要将变动的边影响的下一条边更新就可以，用队列来进行优化

代码：

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    int t = spfa();

    if (t == -1) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

最短路问题（单源+多源最短路问题）

最短路问题的几种情况及实现模板

最短路的常见情况总结及算法

朴素的Dijkstra算法：（注：若所有权重都相等，可以采取BFS宽度优先搜索来找最短路）

堆优化版的Dijkstra算法

bellman_ford算法（存在负权变）note：处理最多经过k条边的最短路径只能用此算法

spfa算法

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