【高等数学基础进阶】函数、极限、连续-函数的连续性

一、连续性的概念

定义1：若$\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0$，则称$y=f(x)$在点$x_{0}$处连续

定义2：若$\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$则称$y=f(x)$在点$x_{0}$处连续

定义3：若$\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$则称$y=f(x)$在点$x_{0}$处左连续

定义4：若$\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$则称$y=f(x)$在点$x_{0}$处右连续

定理：$f(x)$连续$\Leftrightarrow f(x)$左连续且右连续

定义4：区间上连续。开区间连续即区间内任意点都连续，闭区间连续即左闭左连续，右闭右连续。

例1：若$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x},x\ne0\a,x=0\end{cases}$在$(-\infty,+\infty)$处连续，则$a=$（）

因为题设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$处连续，又$f(0)=a$，则$\lim\limits_{x\to x_{0}}f(0)=a$，即在$x=0$处极限存在

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)&=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}\

&=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x}{x}+\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{e^{2ax}-1}{x}\

&显然\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x}{x}存在，整体极限存在，因此等式成立\

&=2+2a=f(0)=a

\end{aligned}

$$

解得$a=-2$

二、间断点及其分类

1. 间断点的定义

定义5：若$f(x)$在$x_{0}$某去心邻域有定义，但在$x_{0}$处不连续，则称$x_{0}$为$f(x)$的间断点

2. 间断点的分类

1. 第一类间断点：左、右极限均存在的间断点

         可去间断点：左极限=右极限

         跳跃间断点：左极限$\ne$右极限

1. 第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在

         无穷间断点

         震荡间断点

注：第一类间断点有且只有两种，第二类间断点有多种，如果题目中要求判断间断点类型，如果是第一类间断点需要说明是可去还是跳跃，如果是第二类间断点，不需要继续说明

例2：设函数$f(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x$，分析$f(x)$间断点的情况

分析间断点类型，如果该点两侧函数表达式不同，则分极限讨论，如果相同，则不需要

由于

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}f(x)&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x\

&=\lim\limits_{x\to 0}x\ln|x|\

&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}\

&=\lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}=0

\end{aligned}

$$

则$x=0$为可去间断点

由于

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to1}f(x)&=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{|x-1|}\quad这里可以分左右极限讨论\

&=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln[1+(x-1)]}{|x-1|}\

&=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{|x-1|}=\begin{cases}

\sin 1,x\to1^{+} \

-\sin1,x\to1^{-}

\end{cases}

\end{aligned}

$$

则$x=1$为跳跃间断点

$(\ln x)'=\frac{1}{x},(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$

三、连续性的运算与性质

定理1：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数

定理2：连续函数的复合认为连续函数

定理3：基本初等函数在其定义域内是连续的

定理4：初等函数在其定义区间内是连续的。为了避免有单个点$f(x)=\sqrt{\cos x-1}$

四、闭区间上连续函数的性质

定理5（有界性定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界

定理6（最值定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值

定理7（介值定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对$f(a)$于$f(b)$之间任一数$C$，至少存在一个$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=C$

推论：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可取到介于它在$[a,b]$上最小值与最大值之间的一切值

定理8（零点定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则必$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f(\xi)=0$

常考题型与典型例题

1. 讨论函数的连续性及间断点的类型
2. 有关闭区间上连续函数性质的证明题

例3：讨论$f(x)= \frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$的连续性并指出间断点类型

由于$f(x)$使初等函数，则除$x=0,x=1$外，处处连续

当$x=0$

$$

\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}=\lim\limits_{x\to0} \frac{x}{- \frac{x}{1-x}}=-1

$$

为可去间断点

当$x=1$

$$

\lim\limits_{x\to1^{+}}f(x)=1,\lim\limits_{x\to1^{-}}=0

$$

为跳跃间断点

例4：函数$f(x)=\frac{(x^{2}+x)(\ln|x|)\sin \frac{1}{x}}{x^{2}-1}$的可去间断点的个数为（）

$f(x)$有三个间断点$x=0,x=\pm1$

在$x=0$处

$$

\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\lim\limits_{x\to0}x\ln|x|\sin \frac{1}{x}

$$

其中（由于$\sin \frac{1}{x}\in[-1,1],x\to0,\ln|x|\to \infty$，所以考虑把$0\cdot \infty$拿出来算，看结果是确定值还是无穷）

$$

\lim\limits_{x\to0}x\ln|x|=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}=0

$$

有

$$

\lim\limits_{x\to0}f(x)=0

$$

则$x=0$为可去间断点

在$x=-1$处

$$

\lim\limits_{x\to-1}f(x)=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x\ln|x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}=0

$$

则$x=1$为可去间断点

在$x=1$处

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to1}f(x)&=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x\ln|x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}\

&=\sin 1\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\

&=\sin 1\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln[1+(x-1)]}{x-1}\

&=\sin1

\end{aligned}

$$

例5：设函数$f(x)=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}}$，讨论函数的间断点

观察到有$\lim\limits_{n\to \infty}x^{n}$的形式，考虑$\lim\limits_{n\to \infty}x^{n}=\begin{cases}0,|x|<1\ \infty,|x|>1\1,x=1\不存在,x=-1\end{cases}$

$$

f(x)=\begin{cases}

1+x,|x|<1 \

0,|x|>1 \

1,x=1 \

0,x=-1

\end{cases}

$$

因此存在间断点$x=1$

例6：设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$a<c<d<b$。试证对任意的正数$p,q$，至少存在一个$\xi\in[c,d]$使

$$

pf(c)+qf(d)=(p+q)f(\xi)

$$

移项可得$f(\xi)=\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}$，本题即证$\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}$在区间$[c,d]$上的最大值和最小值之间

由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$[c,d]$上最大值$M$，最小值$m$，有

$$