【高等數學基礎進階】函數、極限、連續-函數的連續性

一、連續性的概念

定義1：若$\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0$，則稱$y=f(x)$在點$x_{0}$處連續

定義2：若$\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$則稱$y=f(x)$在點$x_{0}$處連續

定義3：若$\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$則稱$y=f(x)$在點$x_{0}$處左連續

定義4：若$\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$則稱$y=f(x)$在點$x_{0}$處右連續

定理：$f(x)$連續$\Leftrightarrow f(x)$左連續且右連續

定義4：區間上連續。開區間連續即區間内任意點都連續，閉區間連續即左閉左連續，右閉右連續。

例1：若$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x},x\ne0\a,x=0\end{cases}$在$(-\infty,+\infty)$處連續，則$a=$（）

因為題設$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$處連續，又$f(0)=a$，則$\lim\limits_{x\to x_{0}}f(0)=a$，即在$x=0$處極限存在

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)&=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}\

&=\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x}{x}+\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{e^{2ax}-1}{x}\

&顯然\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{\sin 2x}{x}存在，整體極限存在，是以等式成立\

&=2+2a=f(0)=a

\end{aligned}

$$

解得$a=-2$

二、間斷點及其分類

1. 間斷點的定義

定義5：若$f(x)$在$x_{0}$某去心鄰域有定義，但在$x_{0}$處不連續，則稱$x_{0}$為$f(x)$的間斷點

2. 間斷點的分類

1. 第一類間斷點：左、右極限均存在的間斷點

         可去間斷點：左極限=右極限

         跳躍間斷點：左極限$\ne$右極限

1. 第二類間斷點：左、右極限中至少有一個不存在

         無窮間斷點

         震蕩間斷點

注：第一類間斷點有且隻有兩種，第二類間斷點有多種，如果題目中要求判斷間斷點類型，如果是第一類間斷點需要說明是可去還是跳躍，如果是第二類間斷點，不需要繼續說明

例2：設函數$f(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x$，分析$f(x)$間斷點的情況

分析間斷點類型，如果該點兩側函數表達式不同，則分極限讨論，如果相同，則不需要

由于

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to0}f(x)&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x\

&=\lim\limits_{x\to 0}x\ln|x|\

&=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}\

&=\lim\limits_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}=0

\end{aligned}

$$

則$x=0$為可去間斷點

由于

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to1}f(x)&=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{|x-1|}\quad這裡可以分左右極限讨論\

&=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln[1+(x-1)]}{|x-1|}\

&=\sin 1\cdot\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{|x-1|}=\begin{cases}

\sin 1,x\to1^{+} \

-\sin1,x\to1^{-}

\end{cases}

\end{aligned}

$$

則$x=1$為跳躍間斷點

$(\ln x)'=\frac{1}{x},(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$

三、連續性的運算與性質

定理1：連續函數的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續函數

定理2：連續函數的複合認為連續函數

定理3：基本初等函數在其定義域内是連續的

定理4：初等函數在其定義區間内是連續的。為了避免有單個點$f(x)=\sqrt{\cos x-1}$

四、閉區間上連續函數的性質

定理5（有界性定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上連續，則$f(x)$在$[a,b]$上有界

定理6（最值定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上連續，則$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值

定理7（介值定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上連續，且$f(a)\ne f(b)$，則對$f(a)$于$f(b)$之間任一數$C$，至少存在一個$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=C$

推論：若$f(x)$在$[a,b]$上連續，則$f(x)$在$[a,b]$上可取到介于它在$[a,b]$上最小值與最大值之間的一切值

定理8（零點定理）：若$f(x)$在$[a,b]$上連續，且$f(a)\cdot f(b)<0$，則必$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f(\xi)=0$

常考題型與典型例題

1. 讨論函數的連續性及間斷點的類型
2. 有關閉區間上連續函數性質的證明題

例3：讨論$f(x)= \frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$的連續性并指出間斷點類型

由于$f(x)$使初等函數，則除$x=0,x=1$外，處處連續

當$x=0$

$$

\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}=\lim\limits_{x\to0} \frac{x}{- \frac{x}{1-x}}=-1

$$

為可去間斷點

當$x=1$

$$

\lim\limits_{x\to1^{+}}f(x)=1,\lim\limits_{x\to1^{-}}=0

$$

為跳躍間斷點

例4：函數$f(x)=\frac{(x^{2}+x)(\ln|x|)\sin \frac{1}{x}}{x^{2}-1}$的可去間斷點的個數為（）

$f(x)$有三個間斷點$x=0,x=\pm1$

在$x=0$處

$$

\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\lim\limits_{x\to0}x\ln|x|\sin \frac{1}{x}

$$

其中（由于$\sin \frac{1}{x}\in[-1,1],x\to0,\ln|x|\to \infty$，是以考慮把$0\cdot \infty$拿出來算，看結果是确定值還是無窮）

$$

\lim\limits_{x\to0}x\ln|x|=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}=0

$$

有

$$

\lim\limits_{x\to0}f(x)=0

$$

則$x=0$為可去間斷點

在$x=-1$處

$$

\lim\limits_{x\to-1}f(x)=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x\ln|x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}=0

$$

則$x=1$為可去間斷點

在$x=1$處

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x\to1}f(x)&=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x\ln|x|\sin \frac{1}{x}}{x-1}\

&=\sin 1\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\

&=\sin 1\lim\limits_{x\to1}\frac{\ln[1+(x-1)]}{x-1}\

&=\sin1

\end{aligned}

$$

例5：設函數$f(x)=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1+x}{1+x^{2n}}$，讨論函數的間斷點

觀察到有$\lim\limits_{n\to \infty}x^{n}$的形式，考慮$\lim\limits_{n\to \infty}x^{n}=\begin{cases}0,|x|<1\ \infty,|x|>1\1,x=1\不存在,x=-1\end{cases}$

$$

f(x)=\begin{cases}

1+x,|x|<1 \

0,|x|>1 \

1,x=1 \

0,x=-1

\end{cases}

$$

是以存在間斷點$x=1$

例6：設$f(x)$在$[a,b]$上連續，$a<c<d<b$。試證對任意的正數$p,q$，至少存在一個$\xi\in[c,d]$使

$$

pf(c)+qf(d)=(p+q)f(\xi)

$$

移項可得$f(\xi)=\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}$，本題即證$\frac{pf(c)+qf(d)}{p+q}$在區間$[c,d]$上的最大值和最小值之間

由于$f(x)$在$[a,b]$上連續，則存在$[c,d]$上最大值$M$，最小值$m$，有

$$