3d变换基础：平移、旋转、缩放（仿射变换）详解——公式推导

文章目录

• 平移、旋转、缩放
• • 平移
  • 旋转
  • • 1. 沿x轴旋转
    • 2. 沿y轴或者z轴旋转
  • 缩放

是时候整理一波3d变换相关的知识了。模型的变换可以认为是空间中一堆点的变换，三维空间中，（x,y,z）可以认为是点，也可以认为是一个向量，因此，人们引入的第4个维度来标识是点还是向量，这个4维空间就叫 仿射空间，具体可以参考 CV及CG数学基础：空间，在仿射空间中，(x,y,z,0)标识向量，而（x,y,z,1）表示点。

平移、旋转、缩放

平移

平移没什么好说的，（x,y,z,1）向x，y，z轴分别移动a,b,c单位长度后变成（x+a, y+b, z+c, 1）。写成矩阵相乘的方式即为：

[ x + a y + b z + c 1 ] = [ 1 0 0 a 0 1 0 b 0 0 1 c 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x+a \\ y+b \\ z+c \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & a\\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x+ay+bz+c1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​abc1​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

旋转

对于旋转，任何一个旋转都可以认为是沿着x，y，z轴分别旋转 α \alpha α, β \beta β, γ \gamma γ 度数，所以选旋转就先讲沿着某个轴向的旋转。这里以逆着坐标轴正向方向看去的顺时针为旋转的正向，就是你的视线朝向和坐标轴正向是相反的，(⊙o⊙)…我还是画个图吧，下图就是沿着z轴旋转的正向了哈~

1. 沿x轴旋转

嗯！这里推一波公式，其实很简单，就是三角函数。

如上图左边，A点沿着x轴旋转一定角度变成A’，为了更容易看，右图是左图的左视图，记旋转的角度为 θ \theta θ, 旋转后得到的A’与旋转中心连线与y轴正方向的夹角为 α \alpha α（图中的 α \alpha α是个负值），记A’与旋转中心连线的长度为L（A与旋转中心连线的长度也是L），那么，显而易见，有：

x ′ = x y ′ = L ⋅ c o s ( θ + α ) z ′ = L ⋅ s i n ( θ + α ) \begin{aligned} x' =& x\\ y' =& L·cos(\theta + \alpha)\\ z' =& L·sin(\theta + \alpha) \end{aligned} x′=y′=z′=​xL⋅cos(θ+α)L⋅sin(θ+α)​

y = L ⋅ c o s α z = L ⋅ s i n α \begin{aligned} y =& L·cos\alpha\\ z =& L·sin\alpha \end{aligned} y=z=​L⋅cosαL⋅sinα​

根据三角函数公式可以得到

y ′ = L ⋅ c o s ( α − θ ) = L ⋅ ( c o s α c o s θ − s i n α s i n θ ) = y c o s θ − z s i n θ z ′ = L ⋅ s i n ( α − θ ) = L ⋅ ( s i n θ c o s α + c o s θ s i n α ) = y s i n θ + z c o s θ \begin{aligned} y' =& L·cos(\alpha - \theta) = L·(cos\alpha cos\theta - sin\alpha sin\theta) = ycos\theta -zsin\theta\\ z' =& L·sin(\alpha - \theta) = L·(sin\theta cos\alpha + cos\theta sin\alpha ) = ysin\theta + zcos\theta \end{aligned} y′=z′=​L⋅cos(α−θ)=L⋅(cosαcosθ−sinαsinθ)=ycosθ−zsinθL⋅sin(α−θ)=L⋅(sinθcosα+cosθsinα)=ysinθ+zcosθ​

综上，有：

x ′ = x y ′ = y c o s θ − z s i n θ z ′ = y s i n θ + z c o s θ \begin{aligned} x' =& x\\ y' =& ycos\theta -zsin\theta\\ z' =&ysin\theta + zcos\theta \end{aligned} x′=y′=z′=​xycosθ−zsinθysinθ+zcosθ​

现在就可以写成漂亮的矩阵形式了：

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ 1 0 0 0 0 c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0cosθsinθ0​0−sinθcosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

2. 沿y轴或者z轴旋转

推了x轴的，其他两个轴向其实原理都是一样的。

对于y轴，可以简单把y轴和x轴对调，也就是公式里的x，y对调，不过这样子的话，z轴的方向会反过来，所以再把z相关的加个符号就好了。

公式如下：

y ′ = y x ′ = x c o s θ + z s i n θ z ′ = − x s i n θ + z c o s θ \begin{aligned} y' =& y\\ x' =& xcos\theta +zsin\theta\\ z' =&-xsin\theta +zcos\theta \end{aligned} y′=x′=z′=​yxcosθ+zsinθ−xsinθ+zcosθ​

写成漂亮的矩阵形式就是：

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ c o s θ 0 s i n θ 0 0 1 0 0 − s i n θ 0 c o s θ 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta &0 & sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosθ0−sinθ0​0100​sinθ0cosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

对于z轴，x，z互换，y置反，直接上公式：

z ′ = z y ′ = y c o s θ + x s i n θ x ′ = − y s i n θ + x c o s θ \begin{aligned} z' =& z\\ y' =& ycos\theta +xsin\theta\\ x' =&-ysin\theta + xcos\theta \end{aligned} z′=y′=x′=​zycosθ+xsinθ−ysinθ+xcosθ​

矩阵形式：

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta&0 & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosθsinθ00​−sinθcosθ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

那一个物体沿着x，y，z 轴分别旋转 α \alpha α, β \beta β, γ \gamma γ 度数就把3个矩阵相乘就好了。

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ c o s γ − s i n γ 0 0 s i n γ c o s γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ c o s β 0 s i n β 0 0 1 0 0 − s i n β 0 c o s β 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 c o s α − s i n α 0 0 s i n α c o s α 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\gamma& -sin\gamma&0 & 0 \\ sin\gamma& cos\gamma& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} cos\beta&0 & sin\beta& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\beta& 0 & cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ 0 & sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosγsinγ00​−sinγcosγ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​cosβ0−sinβ0​0100​sinβ0cosβ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​1000​0cosαsinα0​0−sinαcosα0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ c o s β c o s γ s i n α s i n β c o s γ − s i n γ c o s α s i n β c o s α c o s γ + s i n α s i n γ 0 c o s β s i n γ c o s α c o s γ + s i n α s i n β s i n γ − s i n α c o s γ + s i n γ s i n β c o s α 0 − s i n β s i n α c o s β c o s α c o s β 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\beta cos\gamma & sin\alpha sin\beta cos\gamma - sin\gamma cos\alpha & sin\beta cos\alpha cos\gamma +sin\alpha sin\gamma & 0\\ cos\beta sin\gamma & cos\alpha cos\gamma + sin\alpha sin\beta sin\gamma & -sin\alpha cos\gamma + sin\gamma sin\beta cos\alpha & 0 \\ -sin\beta & sin\alpha cos\beta& cos\alpha cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosβcosγcosβsinγ−sinβ0​sinαsinβcosγ−sinγcosαcosαcosγ+sinαsinβsinγsinαcosβ0​sinβcosαcosγ+sinαsinγ−sinαcosγ+sinγsinβcosαcosαcosβ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

缩放

缩放感觉也没的说，直接上公示，下面公式表示沿着x，y，z轴分别缩放a，b，c倍：

[ x ′ y ′ z ′ 1 ] = [ a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​a000​0b00​00c0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​