初识FFT和NTT

看了很久文档，觉得自己只学会了套模板的能力，理解的代码是怎么写，还有一点原理，看完现在来推一下原理估计又不会了！

初识FFT和NTT

学这个的原因是因为codechef的一道题目，可惜现在还是没有解决

初识FFT和NTT

，谁会了求教点击打开链接

看了 ACdream 的博客，觉得不够详细，而且看了之后根本看不懂代码里面写的什么鬼，之后找了一份题解

然后在百度文库找到了一篇讲得很详细的文档，看玩总算理解了那么一点点！

初识FFT和NTT

ps：这里我只能写一点代码要做什么，原理不敢亵渎！

1、首先是反转置换，将一个2的n次幂长度的分成两个，奇数是一组，偶数是一组，然后一次递归下去，直到长度为1，这样每个元素的位置会去到他二进制反转之后变成是十进制的位置，做置换可以采用rader算法线性实现！一下引用上面链接博客的一张图：

初识FFT和NTT

其实为什么这样想想也很明显，将位置pos编号换成二进制，初始化ans_pos=0，ans依次做位运算右移，低位为0的时候走向二叉树的左儿子，否则是右儿子，而ans_pos依次左移，向二叉树左儿子走的时候末尾补0，否则补1，这样ans_pos的二进制就和刚开始ans的二进制是相反的

rader算法代码如下：

///雷德算法，2^M=len，将第i位的数与“i的二进制反转之后的位”的数交换
void rader(complex *F,int len)
{
    int j=len/2;///模拟二进制反转进位的的位置
    for(int i=1;i<len-1;i++)
    {
        if(i<j)swap(F[i],F[j]);///该出手时就出手
        int k=len/2;
        while(j>=k)
        {
            j-=k;
            k>>=1;
        }
        if(j<k)j+=k;
    }
}

然后抄了份模板，具体解释就看上面链接ppt的解释，非常详细：

const int N = 500005;
const double pi = acos(-1.0);
struct complex{///复数类
    double real,imag;
    complex (double r=0.0,double i=0.0)
    {
        real=r;
        imag=i;
    }
    complex operator + (const complex &x)
    {
        return complex(x.real+real,x.imag+imag);
    }
    complex operator - (const complex &x)
    {
        return complex(real-x.real,imag-x.imag);
    }
    complex operator * (const complex &x)
    {
        return complex(x.real*real-x.imag*imag,imag*x.real+real*x.imag);
    }
}vara[N],varb[N];
void FFT(complex *F,int len,int t)
{
    rader(F,len);
    for(int h=2;h<=len;h<<=1)///L from 1 to M,2^M=len
    {
        ///J_product_two_power_of_M_subtract_L
        ///M_subtract_L_product_h_equals_to_len
        complex wn(cos(t*2*pi/h),sin(t*2*pi/h));///公比
        for(int j=0;j<len;j+=h)
        {
            complex E(1,0);///螺旋因子
            for(int k=j;k<j+h/2;k++)
            {
                complex u=F[k];///蝶型操作
                complex v=E*F[k+h/2];
                F[k]=u+v;///前半部分
                F[k+h/2]=u-v;///后半部分
                E=E*wn;
            }
        }
    }
    if(t==-1)///IDFT
    for(int i=0;i<len;i++)
        F[i].real/=len;
}

NTT也是搞一发模板：

ACdream 点击打开链接

点击打开链接这个一份好的解释看完可以了解一二了

大数运算NTT：

const int N = 400005;
const int g=3;
const long long MOD=(479<<21)+1;
int len;
char A[N],B[N];
long long a[N],b[N],qp[30];
long long q_pow(long long x,long long y,long long P)
{
    long long ans=1;
    while(y>0)
    {
        if(y&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    len=1;
    for(int i=0;i<21;i++)
    {
        int t=1<<i;
        qp[i]=q_pow(g,(MOD-1)/t,MOD);
    }
    int len1=strlen(A);
    int len2=strlen(B);
    while(len<=2*len1||len<=2*len2)len<<=1;
    for(int i=0;i<len1;i++)a[len1-i-1]=A[i]-'0';
    for(int i=len1;i<len;i++)a[i]=0;
    for(int i=0;i<len2;i++)b[len2-i-1]=B[i]-'0';
    for(int i=len2;i<len;i++)b[i]=0;
}
///雷德算法，2^M=len，将第i位的数与“i的二进制反转之后的位”的数交换
void rader(long long F[],int len)
{
    int j=len/2;///模拟二进制反转进位的的位置
    for(int i=1;i<len-1;i++)
    {
        if(i<j)swap(F[i],F[j]);///该出手时就出手
        int k=len/2;
        while(j>=k)
        {
            j-=k;
            k>>=1;
        }
        if(j<k)j+=k;
    }
}
void NTT(long long F[],int len,int t)
{
    int id=0;
    rader(F,len);
    for(int h=2;h<=len;h<<=1)
    {
        id++;
        for(int j=0;j<len;j+=h)
        {
            long long E=1;///原根次幂
            for(int k=j;k<j+h/2;k++)
            {
                long long u=F[k];///蝶型操作
                long long v=(E*F[k+h/2])%MOD;
                F[k]=(u+v)%MOD;///前半部分
                F[k+h/2]=((u-v)%MOD+MOD)%MOD;///后半部分
                E=(E*qp[id])%MOD;
            }
        }
    }
    //p(F);
    if(t==-1)///插值
    {
        for(int i=1;i<len/2;i++)swap(F[i],F[len-i]);///i+lne-i=i;
        long long inv=q_pow(len,MOD-2,MOD);///逆元
        for(int i=0;i<len;i++)F[i]=(F[i]%MOD*inv)%MOD;
    }
    //p(F);
}
void work()///卷积，点乘，插值
{
    NTT(a,len,1);
    NTT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        a[i]=(a[i]*b[i])%MOD;
    NTT(a,len,-1);
}
void pushup()///进位
{
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        if(a[i]>=10)
        {
            a[i+1]+=a[i]/10;
            a[i]=a[i]%10;
        }
    }
}
void print()///输出
{
    int high=0;
    for(int i=len-1;i>=0;i--)
    {
        if(a[i])
        {
            high=i;
            break;
        }
    }
    for(int i=high;i>=0;i--)printf("%lld",a[i]);
    puts("");
}

hdu1402

点击打开链接

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;

const int N = 400005;
const double pi = acos(-1.0);
const int g=3;
//const int len=1<<18;
const long long MOD=(479<<21)+1;
int len;
char A[N],B[N];
long long a[N],b[N],qp[30];
void p(long long a[])
{
    for(int i=0;i<len;i++)printf("%lld ",a[i]);puts("");
}
long long q_pow(long long x,long long y,long long P)
{
    long long ans=1;
    while(y>0)
    {
        if(y&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    len=1;
    for(int i=0;i<21;i++)
    {
        int t=1<<i;
        qp[i]=q_pow(g,(MOD-1)/t,MOD);
    }
    int len1=strlen(A);
    int len2=strlen(B);
    while(len<2*len1||len<2*len2)len<<=1;
    for(int i=0;i<len1;i++)a[len1-i-1]=A[i]-'0';
    for(int i=len1;i<len;i++)a[i]=0;
    for(int i=0;i<len2;i++)b[len2-i-1]=B[i]-'0';
    for(int i=len2;i<len;i++)b[i]=0;
}
void rader(long long F[],int len)
{
    int j=len/2;
    for(int i=1;i<len-1;i++)
    {
        if(i<j)swap(F[i],F[j]);
        int k=len/2;
        while(j>=k)
        {
            j-=k;
            k>>=1;
        }
        if(j<k)j+=k;
    }
}
void NTT(long long F[],int len,int t)
{
    int id=0;
    rader(F,len);
    for(int h=2;h<=len;h<<=1)
    {
        id++;
        for(int j=0;j<len;j+=h)
        {
            long long E=1;
            for(int k=j;k<j+h/2;k++)
            {
                long long u=F[k];
                long long v=(E*F[k+h/2])%MOD;
                F[k]=(u+v)%MOD;
                F[k+h/2]=((u-v)%MOD+MOD)%MOD;
                E=(E*qp[id])%MOD;
            }
        }
    }
    //p(F);
    if(t==-1)
    {
        for(int i=1;i<len/2;i++)swap(F[i],F[len-i]);
        long long inv=q_pow(len,MOD-2,MOD);
        for(int i=0;i<len;i++)F[i]=(F[i]%MOD*inv)%MOD;
    }
    //p(F);
}
void work()
{
    NTT(a,len,1);
    NTT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        a[i]=(a[i]*b[i])%MOD;
    NTT(a,len,-1);
}
void pushup()
{
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        if(a[i]>=10)
        {
            a[i+1]+=a[i]/10;
            a[i]=a[i]%10;
        }
    }
}
void print()
{
    int high=0;
    for(int i=len-1;i>=0;i--)
    {
        if(a[i])
        {
            high=i;
            break;
        }
    }
    for(int i=high;i>=0;i--)printf("%lld",a[i]);
    puts("");
}
int main()
{
    while(~scanf("%s%s",A,B))
    {
        init();
        work();
        pushup();
        print();
    }
    return 0;
}

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