509. Fibonacci Number(斐波那契数列)————附带详细解析和代码

文章目录

• ​​0 效果​​
• ​​1 题目​​
• ​​2 思路​​

• ​​2.1 动态规划（打表）​​
• ​​2.2 矩阵快速幂​​
• ​​2.3 通项公式​​

• ​​3 代码​​

• ​​3.1 打表​​
• ​​3.2 矩阵快速乘​​
• ​​3.3 通项公式​​

0 效果

1 题目

2 思路

2.1 动态规划（打表）

递归写法为：

int F(int n){
    if(n == 0 || n == 1) return 1;
    else return F(n-1) + F(n-2);
}      

递归会涉及到很多重复的计算,如当n==5时，可以得到F(5)= F(4)+F(3),接下来计算F(4)时又会有F(4)= F(3)+F(2),这时不采取措施，F(3)将会被计算两次。如果n很大，重复计算的次数将难以想象。

实际上由于没有保存中间计算的结果，实际复杂度将会高达O(2n),即每次都会计算F(n-1)和F(n-2)这两个分支，基本上不能承受n较大的情况。

开一个数组dp,用来保存已经计算过的结果，其中dp[n]记录F(n)的结果，并用dp[n] = -1来表示F(n) 当前还没有被计算过。

int dp[MAXN];      

然后就可以在递归中判断dp[n]是否是-1，如果不是-1，说明已经计算过F(n),直接返回dp[n]就是结果；否则，按照递归式进行递归。

int F(int n){
    if(n == 0 || n == 1) return  1;
    if(dp[n] != -1) return dp[n];
    else{
        dp[n] = F(n-1) + F(n-2);
        return dp[n];
    }
}      

通过记忆化搜素，把复杂度从O(2n)降到O(n)。

斐波那契数列递归图：

斐波那契数列记忆化搜索示意图：

如计算F（45），直接使用递归用时9.082809，用记忆化搜索仅仅0.000001

2.2 矩阵快速幂

以下解析摘自​​官网​​

2.3 通项公式

3 代码

3.1 打表

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int dp[31];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            dp[i] = dp[i -1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};      

3.2 矩阵快速乘

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        vector<vector<int>> q{{1, 1}, {1, 0}};
        vector<vector<int>> res = matrix_pow(q, n - 1);
        return res[0][0];
    }

    vector<vector<int>> matrix_pow(vector<vector<int>>& a, int n) {
        vector<vector<int>> ret{{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
            if (n & 1) {
                ret = matrix_multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = matrix_multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    vector<vector<int>> matrix_multiply(vector<vector<int>>& a, vector<vector<int>>& b) {
        vector<vector<int>> c{{0, 0}, {0, 0}};
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        return c;
    }
};      

3.3 通项公式

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        double sqrt5 = sqrt(5);
        double fibN = pow((1 + sqrt5) / 2, n) - pow((1 - sqrt5) / 2, n);
        return round(fibN / sqrt5);
    }
};