1.向量
1.1.数量积
a(x1, y1, z1);
b(x2, y2, z2);
ab = |a||b|cos(delAB) = x1x2 + y1y2 + z1z2
1.2.向量积
c = a×b
|c| = |a||b|sin(delAB),c的方向垂直于a,b决定的平面,c按右手规则从a转向b来确定。
满足的规律:
分配律
(a + b)×c = a×c + b×c。
结合律
(ka) × b = a × (kb) = k(a × b)
2.平面及其方程
空间曲线可看作曲面S1,S2的交线。
2.1.平面方程
对垂直于平面的非零向量,称为平面的法线向量。
已知平面的法线向量,平面上的一点,可以唯一确定一个平面。
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0。 // 平面的点法式方程
Ax + By + Cz + D = 0 // 平面的一般式方程
2.2.平面夹角
两平面的法线向量的夹角称为两平面的夹角。// 取小于或等于90度。
3.空间直线及其方程
两个平面的交线。
已经直线上一点和直线的方向向量,则,直线方程可以确定。
两直线的方向向量的夹角,称两直线的夹角。// 取小于或等于90度。
直线和它在平面上的投影直线的夹角(小于或等于90度)称为直线与平面的夹角。
4.空间曲线在坐标面上的投影
4.1.F(x, y, z) = 0
4.2.G(x, y, z) = 0
联合4.1,4.2消去z,得到
H(x, y) = 0 // 表示母线平行Z轴的空间柱面。
由:
H(x, y) = 0
z = 0
联合得到的曲线,为空间曲线在xOy面上的投影曲线。
5.多元函数微分
5.1.集合
内点:
如存在点P的某个邻域U§,使U§属于E,则,P为E的内点。
外点:
如存在点P的某个邻域U§,使U§∩E = 空集,则,P为E的外点。
边界点:
如点P的任一邻域内既含有属于E的点,又含有不属于E的点,则,P为E的边界点。
开集,点集E的点都是E的内点,称E为开集。
闭集,点集E的边界点,都属于E,称E为闭集。
连通集,点集E内任何两点,都可用折线联结,且折现上点属于E,则,E为连通集。
5.2.多元函数
5.2.1.极限定义
f§ = f(x, y)定义域为D,P0(x0, y0)是D的聚点,如存在常数A,对任意c>0,存在d>0,使P(x, y) 属于 D 和 P0半径为d的空心邻域时,有
|f§ - A| < c
成立,称A为f(x, y)当(x, y)->(x0, y0)时的极限。
记做limf§ = A [P->P0]
5.2.2.连续定义
f§=f(x, y)的定义域为D,P0(x0, y0)为D的聚点 且 P0属于D。
如
limf(x, y) = f(x0, y0) [x->x0, y->y0]
称f(x, y)在点P0(x0, y0)连续。
5.2.3.偏导数定义
5.2.3.1.定理—未证明
如z = f(x, y)的两个二阶混合偏导数∂2z/∂y∂x,∂2z/∂x∂y在区域D内连续,则,在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
5.3.全微分
5.3.1.定义
z = f(x, y)在点(x, y)某邻域内有定义,如函数在点(x, y)的全增量
delz = f(x + delx, y + dely) - f(x, y)
可表示为
delz = Adelx + Bdely + o§ [p = sqrt(delx * delx + dely dely)]
称z = f(x, y)在点(x, y)可微分,Adelx + Bdely称为z = f(x, y)在(x, y)的全微分。
记dz = Adelx + B*dely。
5.3.2.多元复合函数求导法则
5.3.2.1.定理1—可证明
u = a(t), v = b(t)在点t可导,z = f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数,则,复合函数z = f(a(t), b(t))在点t可导,且
dz/dt = ∂z/∂u * ∂u/dt + ∂z/∂v * ∂v/dt
5.3.2.2.定理2—可证明
u = a(x, y),v = b(x, y)在点(x, y)具有对x和对y的偏导数,z = f(u, v)在对应点(u, v)有连续偏导数,则,复合函数z = f[a(x, y), b(x, y)]在点(x, y)的两个偏导数都存在,且
∂z/∂x = ∂z/∂u * ∂u/∂x + ∂z/∂v * ∂v/∂x
∂z/∂y = ∂z/∂u * ∂u/∂y + ∂z/∂v * ∂v/∂y
5.3.3.多元函数的极值及最大值与最小值
5.3.3.1.定义
z = f(x, y)定义域为D,P0(x0, y0)为D的内点。
存在P0的某个邻域属于D,使对邻域内异于P0的任何点(x, y),
若有f(x, y) < f(x0, y0)。
称,f(x, y)在(x0, y0)有极大值。(x0, y0)为f(x, y)的极大值点。
若有f(x, y) > f(x0, y0)
称,f(x, y)在(x0, y0)有极小值。(x0, y0)为f(x, y)的极小值点。
5.3.3.2.定理—未证明
z = f(x, y)在(x0, y0)某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,∂f(x0, y0)/∂x = 0, ∂f(x0, y0)/∂y = 0,令
∂2f(x0, y0)/∂x∂x = A,∂2f(x0, y0)/∂x∂y = B, ∂2f(x0, y0)/∂y∂y = C,
则,
AC-B2 > 0, A<0,极大值,A>0,极小值
AC-B2 < 0,无极值
AC-B2 = 0,可能有,可能没有
5.4.多重积分
5.4.1.定义1
f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数,将D分成n个小闭区域deld1, deld2, …, deldn。在每个deldi 上任取一点(xi, yi)。如个小闭区域直径的最大值->0时,和的极限总存在,且与D的分法及点(xi, yi)的取法无关,称此极限为f(x, y)在D上的二重积分,记 ∫ ∫f(x, y)ddeld。
5.4.2.积分区域
分类:
X型
Y型
极坐标型:
5.4.3.定义2
f(x, y, z)是有界闭区域 O上的有界函数,将O任意分成n个小闭区域delv,其中delvi表示第i个小闭区域。在每个delvi上任取(xi, yi, zi),乘积f(xi, yi, zi)delvi,如各小闭区域直径最大值->0时,和的极限存在,且与O的分发及点(xi, yi, zi)取法无关,称此极限为f(x, y, z)在O上的三重积分。
∫ ∫ ∫f(x, y, z)dv
5.4.3.积分区域
分类:
dxdydz型
柱体型
球面体型
应用
曲面面积
体积
引力…
5.5.曲线积分,曲面积分
5.5.1.定义1
L为xOy面内光滑曲线弧,f(x, y)在L上有界,在L上任意插入一点列M1, M2, …, Mn-1把L分成n段。第i段长度为dels,(xi, yi)为第i段内任取一点,f(xi, yi)dels,如各弧段长度最大值->0时,和的极限总存在,且与L的分法及点(xi, yi)的取法无关,称此极限为f(x, y)在L上对弧长的曲线积分。
5.5.2.定义2
L为xOy面内从A到B的一条有向光滑曲线弧,P(x, y),Q(x, y)在L上有界。在L上沿L方向插入点列M1(x1, y1), M2(x2, y2), …, Mn-1(xn-1, yn-1)。delxi = xi - xi-1,delyi = yi - yi-1,点(ai, bi),各弧段长度最大值->0时,和的极限存在,与L的分法点(ai, bi)的取法无关,称和极限为P(x, y)在L上对坐标x的曲线积分,记∫P(x, y)dx。
对y类似,记∫ Q(x, y)dy。
5.6.公式及应用
定义1:
D内任一闭曲线所围部分属于D,称D为单连通区域。否则,称D为复连通区域。
边界曲线L正向:沿着L某方向行走,D内在他左边,称此方向为正。
定理【格林公式】—可证明
D由分段光滑曲线L围成,P(x, y),Q(x, y)在D上一阶连续偏导数,有
∫∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy [D]= ∫Pdx + Qdy [L],L是D取正向的边界曲线。
定理【高斯公式】
定理【斯托克斯公式】