算法-递归

一、递归应用场景
二、递归的概念
三、递归调用机制
四、递归能解决什么样的问题
五、递归需要遵守的重要规则
六、递归-迷宫问题
- 1. 迷宫问题
- 2.思考: 如何求出最短路径? (待补充)
七、递归-八皇后问题（回溯算法）
- 1. 八皇后问题介绍
- 2. 八皇后问题算法思路分析

一、递归应用场景

看个实际应用场景，迷宫问题（回溯），递归（Recursion）

算法-递归一、递归应用场景二、递归的概念三、递归调用机制四、递归能解决什么样的问题五、递归需要遵守的重要规则六、递归-迷宫问题七、递归-八皇后问题（回溯算法）

二、递归的概念

简单的说: 递归就是方法自己调用自己,每次调用时传入不同的变量.递归有助于编程者解决复杂的问题,同时可以让代码变得简洁。

三、递归调用机制

打印问题

public static void test(int n) {
    if (n > 2) {
        test(n - 1);
    } //else {
    System.out.println("n=" + n);
    // }
}

阶乘问题

public static int factorial(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    } else {
        return factorial(n - 1) * n; // 1 * 2 * 3
    }
}

使用图解方式说明了递归的调用机制

四、递归能解决什么样的问题

各种数学问题如: 8 皇后问题 , 汉诺塔, 阶乘问题, 迷宫问题, 球和篮子的问题(google 编程大赛)
各种算法中也会使用到递归，比如快排，归并排序，二分查找，分治算法等.
将用栈解决的问题–>第归代码比较简

五、递归需要遵守的重要规则

执行一个方法时，就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)
方法的局部变量是独立的，不会相互影响, 比如 n 变量
如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)，就会共享该引用类型的数据.
递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归,出现 StackOverflowError，死龟了 😃
当一个方法执行完毕，或者遇到 return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁，同时当方法执行完毕或者返回时，该方法也就执行完毕

六、递归-迷宫问题

1. 迷宫问题

说明:

小球得到的路径，和程序员设置的找路策略有关即：找路的上下左右的顺序相关
再得到小球路径时，可以先使用(下右上左)，再改成(上右下左)，看看路径是不是有变化
测试回溯现象

思考: 如何求出最短路径?

public class MiGong {
    public static void main(String[] args) {

        // 先创建一个二维数组，模拟迷宫
        // 地图
        int[][] map = new int[8][7];

        // 使用 1 表示墙
        // 上下全部置为 1
        for (int i = 0; i < 7; i++) {
            map[0][i] = 1;
            map[7][i] = 1;
        }

        // 左右全部置为 1
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            map[i][0] = 1;
            map[i][6] = 1;
        }

        //设置挡板, 1 表示
        map[3][1] = 1;
        map[3][2] = 1;
        // map[1][2] = 1;
        // map[2][2] = 1;
        // 输出地图
        System.out.println("地图的情况");
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ")
            }
            System.out.println();
        }
        //使用递归回溯给小球找路
        //setWay(map, 1, 1);
        setWay2(map, 1, 1);
        //输出新的地图, 小球走过，并标识过的递归
        System.out.println("小球走过，并标识过的 地图的情况");
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    //使用递归回溯来给小球找路
    //说明
    //1. map 表示地图
    //2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1)
    //3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到. 
    //4. 约定： 当 map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通
    //5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯
    /**
        *
        * @param map 表示地图
        * @param i 从哪个位置开始找
        * @param j
        * @return 如果找到通路，就返回 true, 否则返回 false
        */
    public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
        if(map[6][5] == 2) { // 通路已经找到 ok
            return true;
        } else {
            if(map[i][j] == 0) { //如果当前这个点还没有走过
                //按照策略 下->右->上->左 走
                map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通. if(setWay(map, i+1, j)) {//向下走
                return true;
            } else if (setWay(map, i, j+1)) { //向右走
                return true;
            } else if (setWay(map, i-1, j)) { //向上
                return true;
            } else if (setWay(map, i, j-1)){ // 向左走
                return true;
            } else {
                //说明该点是走不通，是死路
                map[i][j] = 3;
                return false;
            }
        } else { // 如果 map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
            return false;
        }
    }

    //修改找路的策略，改成 上->右->下->左
    public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) {
        if(map[6][5] == 2) { // 通路已经找到 ok
            return true;
        } else {
            if(map[i][j] == 0) { //如果当前这个点还没有走过
                //按照策略 上->右->下->左
                map[i][j] = 2; // 假定该点是可以走通. if(setWay2(map, i-1, j)) {//向上走
                return true;
            } else if (setWay2(map, i, j+1)) { //向右走
                return true;
            } else if (setWay2(map, i+1, j)) { //向下
                return true;
            } else if (setWay2(map, i, j-1)){ // 向左走
                return true;
            } else {
                //说明该点是走不通，是死路
                map[i][j] = 3;
                return false;
            }
        } else { // 如果 map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
            return false;
        }
    }
}

2.思考: 如何求出最短路径? (待补充)

思路-》代码实现

七、递归-八皇后问题（回溯算法）

1. 八皇后问题介绍

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于 1848 年提出：在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法（92）

2. 八皇后问题算法思路分析

第一个皇后先放第一行第一列
第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否 OK，如果不 OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适
继续第三个皇后，还是第一列、第二列……直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解
当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到.
然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4 的步骤
示意图

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代码实现：

//说明：
//理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题. 
//arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} 
//对应 arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，arr[i] = val , val 表示第 i+1 个皇后，放在第 i+1 行的第 val+1 列
public class Queue8 {
    //定义一个 max 表示共有多少个皇后
    int max = 8;
    //定义数组 array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
    int[] array = new int[max];
    static int count = 0;
    static int judgeCount = 0;
    public static void main(String[] args) {
        //测试一把 ， 8 皇后是否正确
        Queue8 queue8 = new Queue8();
        queue8.check(0);
        System.out.printf("一共有%d 解法", count);
        System.out.printf("一共判断冲突的次数%d 次", judgeCount); // 1.5w
    }

    //编写一个方法，放置第 n 个皇后
    //特别注意： check 是 每一次递归时，进入到 check 中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯
    private void check(int n) {
        if(n == max) { //n = 8 , 其实 8 个皇后就既然放好
            print();
            return;
        }
        //依次放入皇后，并判断是否冲突
        for(int i = 0; i < max; i++) {
            //先把当前这个皇后 n , 放到该行的第 1 列
            array[n] = i;
            //判断当放置第 n 个皇后到 i 列时，是否冲突
            if(judge(n)) { // 不冲突
                //接着放 n+1 个皇后,即开始递归
                check(n+1); //
            }
            //如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第 n 个皇后，放置在本行得 后移的一个位置
        }
    }

    //查看当我们放置第 n 个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
    /**
    *
    * @param n 表示第 n 个皇后
    * @return
    */
    private boolean judge(int n) {
        judgeCount++;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            // 说明
            //1. array[i] == array[n] 表示判断 第 n 个皇后是否和前面的 n-1 个皇后在同一列
            //2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第 n 个皇后是否和第 i 皇后是否在同一斜线
            // n = 1 放置第 2 列 1 n = 1 array[1] = 1
            // Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
            //3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增
            if(array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) ) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    //写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出
    private void print() {
        count++;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

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算法-递归

一、递归应用场景

二、递归的概念

三、递归调用机制

四、递归能解决什么样的问题

五、递归需要遵守的重要规则

六、递归-迷宫问题

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