算法-遞歸

一、遞歸應用場景
二、遞歸的概念
三、遞歸調用機制
四、遞歸能解決什麼樣的問題
五、遞歸需要遵守的重要規則
六、遞歸-迷宮問題
- 1. 迷宮問題
- 2.思考: 如何求出最短路徑? (待補充)
七、遞歸-八皇後問題（回溯算法）
- 1. 八皇後問題介紹
- 2. 八皇後問題算法思路分析

一、遞歸應用場景

看個實際應用場景，迷宮問題（回溯），遞歸（Recursion）

算法-遞歸一、遞歸應用場景二、遞歸的概念三、遞歸調用機制四、遞歸能解決什麼樣的問題五、遞歸需要遵守的重要規則六、遞歸-迷宮問題七、遞歸-八皇後問題（回溯算法）

二、遞歸的概念

簡單的說: 遞歸就是方法自己調用自己,每次調用時傳入不同的變量.遞歸有助于程式設計者解決複雜的問題,同時可以讓代碼變得簡潔。

三、遞歸調用機制

列印問題

public static void test(int n) {
    if (n > 2) {
        test(n - 1);
    } //else {
    System.out.println("n=" + n);
    // }
}

階乘問題

public static int factorial(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    } else {
        return factorial(n - 1) * n; // 1 * 2 * 3
    }
}

使用圖解方式說明了遞歸的調用機制

四、遞歸能解決什麼樣的問題

各種數學問題如: 8 皇後問題 , 漢諾塔, 階乘問題, 迷宮問題, 球和籃子的問題(google 程式設計大賽)
各種算法中也會使用到遞歸，比如快排，歸并排序，二分查找，分治算法等.
将用棧解決的問題–>第歸代碼比較簡

五、遞歸需要遵守的重要規則

執行一個方法時，就建立一個新的受保護的獨立空間(棧空間)
方法的局部變量是獨立的，不會互相影響, 比如 n 變量
如果方法中使用的是引用類型變量(比如數組)，就會共享該引用類型的資料.
遞歸必須向退出遞歸的條件逼近，否則就是無限遞歸,出現 StackOverflowError，死龜了 😃
當一個方法執行完畢，或者遇到 return，就會傳回，遵守誰調用，就将結果傳回給誰，同時當方法執行完畢或者傳回時，該方法也就執行完畢

六、遞歸-迷宮問題

1. 迷宮問題

說明:

小球得到的路徑，和程式員設定的找路政策有關即：找路的上下左右的順序相關
再得到小球路徑時，可以先使用(下右上左)，再改成(上右下左)，看看路徑是不是有變化
測試回溯現象

思考: 如何求出最短路徑?

public class MiGong {
    public static void main(String[] args) {

        // 先建立一個二維數組，模拟迷宮
        // 地圖
        int[][] map = new int[8][7];

        // 使用 1 表示牆
        // 上下全部置為 1
        for (int i = 0; i < 7; i++) {
            map[0][i] = 1;
            map[7][i] = 1;
        }

        // 左右全部置為 1
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            map[i][0] = 1;
            map[i][6] = 1;
        }

        //設定擋闆, 1 表示
        map[3][1] = 1;
        map[3][2] = 1;
        // map[1][2] = 1;
        // map[2][2] = 1;
        // 輸出地圖
        System.out.println("地圖的情況");
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ")
            }
            System.out.println();
        }
        //使用遞歸回溯給小球找路
        //setWay(map, 1, 1);
        setWay2(map, 1, 1);
        //輸出新的地圖, 小球走過，并辨別過的遞歸
        System.out.println("小球走過，并辨別過的 地圖的情況");
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    //使用遞歸回溯來給小球找路
    //說明
    //1. map 表示地圖
    //2. i,j 表示從地圖的哪個位置開始出發 (1,1)
    //3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，則說明通路找到. 
    //4. 約定： 當 map[i][j] 為 0 表示該點沒有走過 當為 1 表示牆 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示該點已經走過，但是走不通
    //5. 在走迷宮時，需要确定一個政策(方法) 下->右->上->左 , 如果該點走不通，再回溯
    /**
        *
        * @param map 表示地圖
        * @param i 從哪個位置開始找
        * @param j
        * @return 如果找到通路，就傳回 true, 否則傳回 false
        */
    public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
        if(map[6][5] == 2) { // 通路已經找到 ok
            return true;
        } else {
            if(map[i][j] == 0) { //如果目前這個點還沒有走過
                //按照政策 下->右->上->左 走
                map[i][j] = 2; // 假定該點是可以走通. if(setWay(map, i+1, j)) {//向下走
                return true;
            } else if (setWay(map, i, j+1)) { //向右走
                return true;
            } else if (setWay(map, i-1, j)) { //向上
                return true;
            } else if (setWay(map, i, j-1)){ // 向左走
                return true;
            } else {
                //說明該點是走不通，是死路
                map[i][j] = 3;
                return false;
            }
        } else { // 如果 map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
            return false;
        }
    }

    //修改找路的政策，改成 上->右->下->左
    public static boolean setWay2(int[][] map, int i, int j) {
        if(map[6][5] == 2) { // 通路已經找到 ok
            return true;
        } else {
            if(map[i][j] == 0) { //如果目前這個點還沒有走過
                //按照政策 上->右->下->左
                map[i][j] = 2; // 假定該點是可以走通. if(setWay2(map, i-1, j)) {//向上走
                return true;
            } else if (setWay2(map, i, j+1)) { //向右走
                return true;
            } else if (setWay2(map, i+1, j)) { //向下
                return true;
            } else if (setWay2(map, i, j-1)){ // 向左走
                return true;
            } else {
                //說明該點是走不通，是死路
                map[i][j] = 3;
                return false;
            }
        } else { // 如果 map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
            return false;
        }
    }
}

2.思考: 如何求出最短路徑? (待補充)

思路-》代碼實作

七、遞歸-八皇後問題（回溯算法）

1. 八皇後問題介紹

八皇後問題，是一個古老而著名的問題，是回溯算法的典型案例。該問題是國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾于 1848 年提出：在 8×8 格的國際象棋上擺放八個皇後，使其不能互相攻擊，即：任意兩個皇後都不能處于同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法（92）

2. 八皇後問題算法思路分析

第一個皇後先放第一行第一列
第二個皇後放在第二行第一列、然後判斷是否 OK，如果不 OK，繼續放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一個合适
繼續第三個皇後，還是第一列、第二列……直到第 8 個皇後也能放在一個不沖突的位置，算是找到了一個正确解
當得到一個正确解時，在棧回退到上一個棧時，就會開始回溯，即将第一個皇後，放到第一列的所有正确解，全部得到.
然後回頭繼續第一個皇後放第二列，後面繼續循環執行 1,2,3,4 的步驟
示意圖

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代碼實作：

//說明：
//理論上應該建立一個二維數組來表示棋盤，但是實際上可以通過算法，用一個一維數組即可解決問題. 
//arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} 
//對應 arr 下标 表示第幾行，即第幾個皇後，arr[i] = val , val 表示第 i+1 個皇後，放在第 i+1 行的第 val+1 列
public class Queue8 {
    //定義一個 max 表示共有多少個皇後
    int max = 8;
    //定義數組 array, 儲存皇後放置位置的結果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
    int[] array = new int[max];
    static int count = 0;
    static int judgeCount = 0;
    public static void main(String[] args) {
        //測試一把 ， 8 皇後是否正确
        Queue8 queue8 = new Queue8();
        queue8.check(0);
        System.out.printf("一共有%d 解法", count);
        System.out.printf("一共判斷沖突的次數%d 次", judgeCount); // 1.5w
    }

    //編寫一個方法，放置第 n 個皇後
    //特别注意： check 是 每一次遞歸時，進入到 check 中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，是以會有回溯
    private void check(int n) {
        if(n == max) { //n = 8 , 其實 8 個皇後就既然放好
            print();
            return;
        }
        //依次放入皇後，并判斷是否沖突
        for(int i = 0; i < max; i++) {
            //先把目前這個皇後 n , 放到該行的第 1 列
            array[n] = i;
            //判斷當放置第 n 個皇後到 i 列時，是否沖突
            if(judge(n)) { // 不沖突
                //接着放 n+1 個皇後,即開始遞歸
                check(n+1); //
            }
            //如果沖突，就繼續執行 array[n] = i; 即将第 n 個皇後，放置在本行得 後移的一個位置
        }
    }

    //檢視當我們放置第 n 個皇後, 就去檢測該皇後是否和前面已經擺放的皇後沖突
    /**
    *
    * @param n 表示第 n 個皇後
    * @return
    */
    private boolean judge(int n) {
        judgeCount++;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            // 說明
            //1. array[i] == array[n] 表示判斷 第 n 個皇後是否和前面的 n-1 個皇後在同一列
            //2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判斷第 n 個皇後是否和第 i 皇後是否在同一斜線
            // n = 1 放置第 2 列 1 n = 1 array[1] = 1
            // Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
            //3. 判斷是否在同一行, 沒有必要，n 每次都在遞增
            if(array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) ) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    //寫一個方法，可以将皇後擺放的位置輸出
    private void print() {
        count++;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

算法-遞歸一、遞歸應用場景二、遞歸的概念三、遞歸調用機制四、遞歸能解決什麼樣的問題五、遞歸需要遵守的重要規則六、遞歸-迷宮問題七、遞歸-八皇後問題（回溯算法）

算法-遞歸

一、遞歸應用場景

二、遞歸的概念

三、遞歸調用機制

四、遞歸能解決什麼樣的問題

五、遞歸需要遵守的重要規則

六、遞歸-迷宮問題

1. 迷宮問題

2.思考: 如何求出最短路徑? (待補充)

七、遞歸-八皇後問題（回溯算法）

1. 八皇後問題介紹

2. 八皇後問題算法思路分析

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