【算法】【动态规划】总结

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• 一、力扣经典题目
• 二、使用循环而非递归
• 三、滚动数组思想减少空间占用

一、力扣经典题目

• 509.斐波那契数列
• 1137. 第 N 个泰波那契数
• 70. 爬楼梯

二、使用循环而非递归

归纳出动态规划转移方程后，可以新建一个n+1的动态规划数组dp，然后使用循环从前往后或者从后往前进行赋值，返回最后计算出来的数字。

一般简单地使用递归都会产生"超出时间限制"的错误。

三、滚动数组思想减少空间占用

对于此类简单的动态规划题目，一般都有固定的动态规划转移方程，比如：

斐波那契数列和爬楼梯的方程为：

f(x)=f(x−1)+f(x−2)

泰波那契数方程为：

T(n)=T(n−1)+T(n−2)+T(n−3)

两者都没有本质上的区别，只不过是加数的数量不同而已。

这样的动态规划问题从简单的思想出发，都可以使用递归的方法来解决，但是这样做往往会造成超出时间限制或者超出空间限制的问题。

滚动数组思想就是将递归这一方法放在了循环里来进行。

这里举例说明斐波那契数列。

斐波那契数列，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。

F(0) = 0，F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

可以定义a、b、c三个变量来作为存储方程中两个加数和一个和的容器，循环往复a=b, b=c, c=a+b。

也即以下代码。

public int fib(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int a = 0, b = 0, c = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            a = b; 
            b = c; 
            c = a + b;
        }
        return c;
    }
           

其中，初始定义的a的值并不关键，关键是b和c的值，分别为 b=F(0)=0， c=F(1)=1，如何定义还是要看a，b，c的赋值顺序。

如果把 c = a + b 放在循环体的开头，那么初始定义的变量值的含义为 a=F(0)=0， b=F(1)=1，c的初始值便没有任何意义。