卡特兰数的含义：
说到卡特兰数，就不得不提及卡特兰数序列，卡特兰数序列是一个整数序列，其通项公式是
我们从中取出的
就叫做第n个卡特兰数数，前几个卡特兰数数是：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, …运用卡特兰数可以解决许多实际问题上的计数问题
卡特兰数的几个基本性质以及变形公式：（提示括号一上n一下m表示n中选择m个的组合数）
1、
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2、
3、
4、
以上的推导公式为其基本性质总结，如果有计数问题能够装换为以上几个公式那么他们就是卡特兰数的变形
直接运用卡特兰数的公式：f(n+1)=(4*n-6)/n*f(n)进行计算。
卡特兰数变形运用：
n个+1和n个-1构成2n项
，其部分和满足
的序列个数等于卡特兰数
。
证明：
我们假设不满足条件的序列个数为
，那么就有
。接着就是求
了，我们假设有一个最小的k令
。由于这里k是最小的(注k为最小的令
的值，所以在K之前肯定是>=0的)，所以必有
，并且k是一个奇数不是偶数。此时我们只将前k项中的+1变为-1，将-1变为+1,那么对于0-2*n，就能得到一个有(n+1)个+1和(n-1)个-1的序列了，如此，从2*n中提取出n+1个+1或者n-1个-1,便是我们所求的
，数值大小为
。那么我们就得到了
就是我们基本性质中的第一个。
此次详解：
也许部分读者不是很清楚这个地方的证明方式，那么我们就换一种：
很明显，我们求解
就是求解2n项数据是不满足条件的，所谓的不满足条件一定是右括号没了左括号匹配，为什么一定是右括号没有了左括号匹配呢，因为如果存在左括号，一定会有右括号跟它匹配，如果没有，那么这个与左括号匹配的右括号肯定比左括号要先出现，否则比左括号晚出现的右括号就会匹配左括号，这样就满足条件了，所以不满足条件的一定是右括号没有左括号匹配【大家可以随便画几个例子就可以知道了】，那么问题就转换成了，如果当前位置为k，那么前k项之和<0即右括号比左括号先出现就形成不满足条件的序列，而从2n项中取n+1个+1个操作就是这种方式的方案数，大家可以想象的是，如果2n的序列中有n+1个+1和n-1个-1是不是一定会有一个一种情况就是到达某一个位置x，前x项序列和>=1，而这里的+1其实就是相当于右括号，而-1相当于左括号，当我们的前x项序列和>=1是不是代表着，到当前位置右括号没了左括号匹配也就是说已经不满足条件的了，然后我们将前x项的+1和-1反转一下，是不是就让n+1个+1和n-1个-1变成了n个+1和n个-1，但是前x项中右括号表示那部分还是比左括号多一，它依旧不满足条件的，而我们求的就是不满足条件的，所以最终的结果就是2n个取n+1个数所以
。
所以
。
变形：
1.将-1看成右括号，+1看成左括号，就变成了合法括号表达式的个数。
2.n+1个数连乘，乘法顺序有
种
3.n个节点的二叉树的所有可能形态数为
我们考虑随便取一个节点作为根，那么他左边和右边的儿子节点个数就确定了，假定根节点标号为x，那么左子树的标号就从1到x-1,共x-1个，右子树的标号就从x+1到n，共n-x个，那么我们的x从1取到n，就获得了所有的情况数
就是我们基本性质中的第三个
4.对于一个n*n(记住是n*n，当然，如果你使用n*m也可，但是需要改变公式)的正方形网格，每次我们能向右或者向上移动一格，那么从左下角到右上角的所有在副对角线右下方的路径总数为
。
我们将一条水平边记为+1,垂直边记为-1,那么就组成了一个n个+1和n个-1的序列，我们所要保证的就是前k步中水平边的个数不小于垂直边的个数，换句话说前k个元素的和非负即
，就是我们证明的第一个。
5.凸n+2边形进行三角形分割（只连接顶点对形成n个三角形）数：以下是n=4的情况
6. n个数入栈后的出栈的排列总数是
。例如1,2,3入栈的出栈排序有123，132，213，231和321五种
7.对于集合
的不交叉划分的数目为
,不交叉划分即两个区间可以包含或者相离，但是不能够交叉，就像两个圆之间的关系一样，可以圆包含圆，相离，但是不能相交
8.n层的阶梯切割为n个矩形的切法数也是
。如下图所示：（以下为n=4的情况）
证明暂无
9.在一个2*n的格子中填入1到2n这些数值使得每个格子内的数值都比其右边和上边的所有数值都小的情况数也是
。
10.平面上连接可以形成凸包的2n个点分成2个一组连成n条线段，两两线段之间不相交的情况总数是
，