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原文概要
用多目标遗传算法处理投资组合选择中的模型风险
Artificial Intelligence in Financial Markets pp 285-310
Part of the New Developments in Quantitative Trading and Investment book series (QTAM)
作者： Prisadarng Skolpadungket, Keshav Dahal, and Napat Harnpornchai 摘要： 近年来 ， 将 多目标优化应用 于 投资组合优化受到越来越多的关注。 投资组合优化被定义为选择满足两个目标的资产组合，即投资组合收益最大化和收益波动最小化。 在最初的应用中， 马科维兹 使用平均收益和每种资产收益的方差作为模型的输入。 但是，基于平均收益和波动率这些历 史数据进行的资产组合优化的结果并不理想。 进一步 用预测的收益率和波动率代替历史数据，但预测的结果仍然不是最优的，预测模型的不准确性导致了所谓的模型风险。 本文提出了一种改进的多目标遗传算法(MOGA)，称为MOGA3O(三个目标)，用于处理投资组合优化中的模型风险，该算法考虑了许多现实约束，并通过增加第三个目标来处理模型风险。 结果表明，通过在算法中引入第三个目标，可以提高投资组合的夏普比率。在整个样本期内，MOGA3O模型产生的投资组合都优于其他两个基准模型。它的表现优于使用预期平均收益和波动率的两目标模型(MOGA)和使用历史平均收益和波动率的两目标模型(MOGA_Mean)。通过加入第三个目标，可以降低当前预测过程中的模型风险。该模型不仅考虑具有高预期收益和低波动率的股票，还考虑了其预测未来价值的能力。因此，在预期收益和预期波动性等其他目标相同的情况下，模型会倾向于选择预测更准确的股票。
Handling Model Risk in Portfolio Selection Using Multi-Objective Genetic Algorithm
Prisadarng Skolpadungket, Keshav Dahal, and Napat Harnpornchai
Abstract： The application of multi-objective optimization to portfolio optimization has attracted increased attention in recent years. Portfolio optimization is defined as the task to select a combination of assets that simultaneously satisfy two objectives. In its original application, Markowitz used mean returns and the variances from each of returns as inputs for the model.
In this chapter, we propose a modified version of Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA) called MOGA3O (3 Objectives) to handle model risk in portfolio optimization using a number of constraints. Model risk is captured by adding a third objective to approximate portfolio Sharpe ratio errors.
Results provide clear evidence that the efficiency of optimizing portfolios is improved by introducing a third objective. Portfolios produced by our MOGA3O model are superior to the other two benchmark models throughout the sample period. It outperforms both the multi-objective model.By incorporating a third objective model risk is reduced. Our model therefore not only considers stocks that have high expected returns and low volatilities however it also takes its ability to forecast future values into consideration. Hence, is more inclined to select stocks that it is able to forecast more accurately, given that the other objectives, expected return and expected volatilities, are equal.
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模型风险
模型风险是一种由于使用不准确的模型来进行决策所产生的固有风险。模型风险的来源有假设错误、参数估计误差、离散化引起的误差、市场数据误差、假设分布与实际分布的差异和模型逻辑框架中的误差等。在建模过程中往往存在主观性，依赖这样的模型做出的决策可能会产生财务损失或意想不到的风险。
有许多措施可以帮助管理或缓解模型风险。首先，使用独立的模型控制器对决策中使用的模型进行审查，并报告给管理层。第二，意识到模型的局限性。第三，投入使用前检查模型的有效性。第四，定期审查正使用的模型。
此外该文提出了一种新方法来处理模型风险。在投资组合选择过程中嵌入基于模型预测准确性的股票选择。预测模型大多是统计模型，往往存在不稳定性。如果将模型组合起来，不断评估它们的准确性，并根据它们的准确性进行选择，就能够有效降低模型风险。将模型风险最小化纳入投资组合选择过程，能够有效地管理模型风险。
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多目标遗传算法
该文用于投资组合优化的多目标遗传算法是基于Fonseca和Fleming于1993年首次提出的算法。遗传算法依靠帕累托排序将最小的值分配给所有非支配个人。对于被支配的个体，根据群体中实际支配他们的个体的多少进行排序。因此，个体的原始适应度是其帕累托等级的反函数。双目标投资组合优化遗传算法(MOGA)根据投资组合回报最大化和投资组合标准差最小化对群体中的个体进行排序。
从数学上讲，这两个目标可以用下面的公式表示。
xi是投资组合中资产i的比例。
rp是投资组合的预期收益。ri是资产i的预期收益。
ρij是资产i和j之间的相关系数，σp是投资组合的预期标准差，σi是资产i的预期标准差。
为了处理预测投资组合收益和标准差时的模型风险，在最初的双目标MOGA的基础上增加第三个目标(模型预测准确性)，将模型命名为MOGA3O模型。第三个目标可以用如下公式表示：
SREp是投资组合的近似夏普比率误差。
夏普比率是经风险调整后的投资组合收益率。风险是以投资组合收益的标准差来衡量。夏普比率定义为：
夏普比率本质上是一个标准化的超额回报，使不同的投资组合能够进行比较。当比较投资组合时，夏普比率较大的投资组合的风险回报权衡更佳。
进一步优化的目标是找到一个能够有效处理模型风险的投资组合，即在更多的时间里具有更大夏普比率的投资组合。投资组合优化在满足两个目标的基础上，在给定的回报或风险水平下最大化夏普比率。考虑持有股票i的数量不同的两个投资组合，夏普比率的差异可以表示为：
不考虑无风险利率，且投资组合满足最初的两个目标。
故，
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结果分析
使用三种不同的算法(MOGA_Mean、MOGA、MOGA3O)进行投资组合的选择。
MOGA_Mean：2个目标(投资组合收益最大化和方差最小化)，使用股票的历史均值和标准差作为输入。
MOGA：2个目标，使用股票的预期均值和标准差作为输入。
MOGA3O：3个目标，加入了第三个目标，即投资组合夏普比率误差最小化。
样本期间为72期，每期有10个样本，总共有720个数据。在72期内，比较每期的平均投资组合夏普比率可以发现，大多数情况下MOGA_Mean的夏普比率是这三种算法中最低的。MOGA3O和MOGA较为接近，MOGA3O略高一些。MOGA对股票的收益和方差都坚持单一的预测模型，因此不能较好地适应经济和市场环境的变化。在720个样本中，只有175个样本MOGA的表现优于MOGA3O，并且这种情况一般发生在牛市。
表1三种算法的统计值
| 算法 | n | x | s^2 | >MOGA3O | >MOGA | >MOGA_MEAN |
| MOGA3O | 720 | 19.78 | 258.20 | (0.0%) | 545 (75.69%) | 717 (99.58%) |
| MOGA | 720 | 18.06 | 291.83 | 175 (24.3%) | (0.0%) | 702 (97.50%) |
| MOGA_MEAN | 720 | 2.63 | 137.34 | 3 (0.42%) | 18 (2.50%) | (0.0%) |
通过表1可以看出，MOGA_3O的结果相对好于MOGA和MOGA_Mean，MOGA_3O的平均夏普比率为19.78，而MOGA和MOGA_Mean的夏普比率分别为18.06和2.63。
表2 MOGA3O的结果是否优于MOGA的t值和z值检验
| MOGA3O>MOGA | t或z | 自由度 | 单尾p值 | 是否拒绝原假设 (置信区间) |
| H0：p≤p0 H1：p>p0 | z=13.7867 | N/A | 1.53E-43 | 是(0.1%) |
| H0：μ1≤μ2 H1：μ1>μ2 | t=1.97624 | 719 | 0.02425 | 是(5%) |
表2比较了MOGA30和MOGA的结果。t值是检验两个均值之间的差异，即两个样本组的均值在给定的置信水平下是否不同。MOGA3O的夏普比率的平均值高于MOGA，并具有统计意义。t值为1.97624，在5%置信水平下强烈拒绝MOGA3O的夏普比率均值小于或等于MOGA的夏普比率均值的原假设。因此，进行投资组合选择时MOGA3O优于MOGA。
z值是检验在给定的置信度下，MOGA3O是否比MOGA更频繁地产生更好的结果。这个检验不涉及投资组合夏普比率的平均值，而是比较MOGA3O的结果优于MOGA期数。z值为13.7867，且在0.1%的置信度拒绝原假设。因此可以肯定地认为MOGA3O的效果确实好于MOGA。
同理，可以发现MOGA3O应用于投资组合选择的效果优于MOGA_Mean。MOGA的效果优于MOGA_Mean。
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总结
该文，提出了一种改进的多目标遗传算法来处理现实约束下的投资组合选择中的模型风险。用所提出的算法对美国股票市场72期数据进行分析，并将该算法的结果与两目标优化算法的结果进行比较。实验表明，MOGA3O的效果最好。加入第三个目标，即最小化投资组合夏普比率误差，有助于降低预测过程中的模型风险。在相同的收益和风险水平下，MOGA3O更倾向于选择预测更准确的股票。
第三个目标是捕捉预测模型的不确定性。它会根据当前经济、金融和市场环境的变化预测模型的误差，从而降低预测模型的模型风险。然而，预测是极其困难的，它涉及到非常多的因素和变量。此外对模型误差的预测存在一定的局限性，即历史值与未来值是属于相关关系而非因果关系，用历史值来预测未来值是不准确的。任何输入不准确的模型输出都是不准确的。因此可能无法准确预测模型的误差，第三个目标不能有效改进投资组合选择。
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主笔︱吴凯军
指导︱翠山︱安歌︱周一