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原文概要
用多目标遺傳算法處理投資組合選擇中的模型風險
Artificial Intelligence in Financial Markets pp 285-310
Part of the New Developments in Quantitative Trading and Investment book series (QTAM)
作者： Prisadarng Skolpadungket, Keshav Dahal, and Napat Harnpornchai 摘要： 近年來 ， 将 多目标優化應用 于 投資組合優化受到越來越多的關注。 投資組合優化被定義為選擇滿足兩個目标的資産組合，即投資組合收益最大化和收益波動最小化。 在最初的應用中， 馬科維茲 使用平均收益和每種資産收益的方差作為模型的輸入。 但是，基于平均收益和波動率這些曆 史資料進行的資産組合優化的結果并不理想。 進一步 用預測的收益率和波動率代替曆史資料，但預測的結果仍然不是最優的，預測模型的不準确性導緻了所謂的模型風險。 本文提出了一種改進的多目标遺傳算法(MOGA)，稱為MOGA3O(三個目标)，用于處理投資組合優化中的模型風險，該算法考慮了許多現實限制，并通過增加第三個目标來處理模型風險。 結果表明，通過在算法中引入第三個目标，可以提高投資組合的夏普比率。在整個樣本期内，MOGA3O模型産生的投資組合都優于其他兩個基準模型。它的表現優于使用預期平均收益和波動率的兩目标模型(MOGA)和使用曆史平均收益和波動率的兩目标模型(MOGA_Mean)。通過加入第三個目标，可以降低目前預測過程中的模型風險。該模型不僅考慮具有高預期收益和低波動率的股票，還考慮了其預測未來價值的能力。是以，在預期收益和預期波動性等其他目标相同的情況下，模型會傾向于選擇預測更準确的股票。
Handling Model Risk in Portfolio Selection Using Multi-Objective Genetic Algorithm
Prisadarng Skolpadungket, Keshav Dahal, and Napat Harnpornchai
Abstract： The application of multi-objective optimization to portfolio optimization has attracted increased attention in recent years. Portfolio optimization is defined as the task to select a combination of assets that simultaneously satisfy two objectives. In its original application, Markowitz used mean returns and the variances from each of returns as inputs for the model.
In this chapter, we propose a modified version of Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA) called MOGA3O (3 Objectives) to handle model risk in portfolio optimization using a number of constraints. Model risk is captured by adding a third objective to approximate portfolio Sharpe ratio errors.
Results provide clear evidence that the efficiency of optimizing portfolios is improved by introducing a third objective. Portfolios produced by our MOGA3O model are superior to the other two benchmark models throughout the sample period. It outperforms both the multi-objective model.By incorporating a third objective model risk is reduced. Our model therefore not only considers stocks that have high expected returns and low volatilities however it also takes its ability to forecast future values into consideration. Hence, is more inclined to select stocks that it is able to forecast more accurately, given that the other objectives, expected return and expected volatilities, are equal.
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模型風險
模型風險是一種由于使用不準确的模型來進行決策所産生的固有風險。模型風險的來源有假設錯誤、參數估計誤差、離散化引起的誤差、市場資料誤差、假設分布與實際分布的差異和模型邏輯架構中的誤差等。在模組化過程中往往存在主觀性，依賴這樣的模型做出的決策可能會産生财務損失或意想不到的風險。
有許多措施可以幫助管理或緩解模型風險。首先，使用獨立的模型控制器對決策中使用的模型進行審查，并報告給管理層。第二，意識到模型的局限性。第三，投入使用前檢查模型的有效性。第四，定期審查正使用的模型。
此外該文提出了一種新方法來處理模型風險。在投資組合選擇過程中嵌入基于模型預測準确性的股票選擇。預測模型大多是統計模型，往往存在不穩定性。如果将模型組合起來，不斷評估它們的準确性，并根據它們的準确性進行選擇，就能夠有效降低模型風險。将模型風險最小化納入投資組合選擇過程，能夠有效地管理模型風險。
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多目标遺傳算法
該文用于投資組合優化的多目标遺傳算法是基于Fonseca和Fleming于1993年首次提出的算法。遺傳算法依靠帕累托排序将最小的值配置設定給所有非支配個人。對于被支配的個體，根據群體中實際支配他們的個體的多少進行排序。是以，個體的原始适應度是其帕累托等級的反函數。雙目标投資組合優化遺傳算法(MOGA)根據投資組合回報最大化和投資組合标準差最小化對群體中的個體進行排序。
從數學上講，這兩個目标可以用下面的公式表示。
xi是投資組合中資産i的比例。
rp是投資組合的預期收益。ri是資産i的預期收益。
ρij是資産i和j之間的相關系數，σp是投資組合的預期标準差，σi是資産i的預期标準差。
為了處理預測投資組合收益和标準差時的模型風險，在最初的雙目标MOGA的基礎上增加第三個目标(模型預測準确性)，将模型命名為MOGA3O模型。第三個目标可以用如下公式表示：
SREp是投資組合的近似夏普比率誤差。
夏普比率是經風險調整後的投資組合收益率。風險是以投資組合收益的标準差來衡量。夏普比率定義為：
夏普比率本質上是一個标準化的超額回報，使不同的投資組合能夠進行比較。當比較投資組合時，夏普比率較大的投資組合的風險回報權衡更佳。
進一步優化的目标是找到一個能夠有效處理模型風險的投資組合，即在更多的時間裡具有更大夏普比率的投資組合。投資組合優化在滿足兩個目标的基礎上，在給定的回報或風險水準下最大化夏普比率。考慮持有股票i的數量不同的兩個投資組合，夏普比率的差異可以表示為：
不考慮無風險利率，且投資組合滿足最初的兩個目标。
故，
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結果分析
使用三種不同的算法(MOGA_Mean、MOGA、MOGA3O)進行投資組合的選擇。
MOGA_Mean：2個目标(投資組合收益最大化和方差最小化)，使用股票的曆史均值和标準差作為輸入。
MOGA：2個目标，使用股票的預期均值和标準差作為輸入。
MOGA3O：3個目标，加入了第三個目标，即投資組合夏普比率誤差最小化。
樣本期間為72期，每期有10個樣本，總共有720個資料。在72期内，比較每期的平均投資組合夏普比率可以發現，大多數情況下MOGA_Mean的夏普比率是這三種算法中最低的。MOGA3O和MOGA較為接近，MOGA3O略高一些。MOGA對股票的收益和方差都堅持單一的預測模型，是以不能較好地适應經濟和市場環境的變化。在720個樣本中，隻有175個樣本MOGA的表現優于MOGA3O，并且這種情況一般發生在牛市。
表1三種算法的統計值
| 算法 | n | x | s^2 | >MOGA3O | >MOGA | >MOGA_MEAN |
| MOGA3O | 720 | 19.78 | 258.20 | (0.0%) | 545 (75.69%) | 717 (99.58%) |
| MOGA | 720 | 18.06 | 291.83 | 175 (24.3%) | (0.0%) | 702 (97.50%) |
| MOGA_MEAN | 720 | 2.63 | 137.34 | 3 (0.42%) | 18 (2.50%) | (0.0%) |
通過表1可以看出，MOGA_3O的結果相對好于MOGA和MOGA_Mean，MOGA_3O的平均夏普比率為19.78，而MOGA和MOGA_Mean的夏普比率分别為18.06和2.63。
表2 MOGA3O的結果是否優于MOGA的t值和z值檢驗
| MOGA3O>MOGA | t或z | 自由度 | 單尾p值 | 是否拒絕原假設 (置信區間) |
| H0：p≤p0 H1：p>p0 | z=13.7867 | N/A | 1.53E-43 | 是(0.1%) |
| H0：μ1≤μ2 H1：μ1>μ2 | t=1.97624 | 719 | 0.02425 | 是(5%) |
表2比較了MOGA30和MOGA的結果。t值是檢驗兩個均值之間的差異，即兩個樣本組的均值在給定的置信水準下是否不同。MOGA3O的夏普比率的平均值高于MOGA，并具有統計意義。t值為1.97624，在5%置信水準下強烈拒絕MOGA3O的夏普比率均值小于或等于MOGA的夏普比率均值的原假設。是以，進行投資組合選擇時MOGA3O優于MOGA。
z值是檢驗在給定的置信度下，MOGA3O是否比MOGA更頻繁地産生更好的結果。這個檢驗不涉及投資組合夏普比率的平均值，而是比較MOGA3O的結果優于MOGA期數。z值為13.7867，且在0.1%的置信度拒絕原假設。是以可以肯定地認為MOGA3O的效果确實好于MOGA。
同理，可以發現MOGA3O應用于投資組合選擇的效果優于MOGA_Mean。MOGA的效果優于MOGA_Mean。
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總結
該文，提出了一種改進的多目标遺傳算法來處理現實限制下的投資組合選擇中的模型風險。用所提出的算法對美國股票市場72期資料進行分析，并将該算法的結果與兩目标優化算法的結果進行比較。實驗表明，MOGA3O的效果最好。加入第三個目标，即最小化投資組合夏普比率誤差，有助于降低預測過程中的模型風險。在相同的收益和風險水準下，MOGA3O更傾向于選擇預測更準确的股票。
第三個目标是捕捉預測模型的不确定性。它會根據目前經濟、金融和市場環境的變化預測模型的誤差，進而降低預測模型的模型風險。然而，預測是極其困難的，它涉及到非常多的因素和變量。此外對模型誤差的預測存在一定的局限性，即曆史值與未來值是屬于相關關系而非因果關系，用曆史值來預測未來值是不準确的。任何輸入不準确的模型輸出都是不準确的。是以可能無法準确預測模型的誤差，第三個目标不能有效改進投資組合選擇。
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主筆︱吳凱軍
指導︱翠山︱安歌︱周一