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模糊集合的数学基础##
模糊数###
F集合的支集、核和正规 \(F\)####
设$A \in \mathscr{F}(U) $，记集合
Supp\(A =\{ x|x \in U, A(x)>0 \}\)，称Supp\(A\)为\(F\)集合\(A\)的的支集。
Ker\(A = \{ x| x \in U, A(x)=1\}\)，称Ker\(A\)为\(F\)集合\(A\)的核。
把Ker$A \neq \emptyset $的F集合A成为正规F集
数\(\lambda\)与集合A的数积####
设\(A \in \mathscr{F}(U)\)，\(\lambda \in [0,1]\), \(x \in U\)。据此，可以定义一个新的集合“\(\lambda\)A”，它满足下面几个条件：
\[(\lambda A)(x) =\lambda \land A(x)
\]
模糊集合的表示方法###
序对法####
当F集合的论域U为有限集合或可数集合是，F集合的A表示为:
\[A=\{ (x_{i}, A(x_{i})) | x_{i} \in U, i=1,2, \cdots, n \} \\
= \{ (x_{1}, A(x_{1})), (x_{2}, A(x_{2})), \cdots, (x_{n}, A(x_{n})) \} \]
扎德法####
当论域U是优先级或可数集时，F集合A课表示为：
\[A = \sum \frac{A(x_{i})}{x_{i}}
\]
向量法####
\[A =( A(x_{1}), A(x_{2}), \cdots, A(x_{n}) )
\]
例子：
- 序对法 A={(1,0), (2, 0.2), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.8), (6, 0.2)}
- 扎德法 $ A = \frac{0}{1} + \frac{0.2}{2} + \frac{0.8}{3} + \frac{1}{4} + \frac{0.8}{5} + \frac{0.2}{6}$
- 向量法 A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
F集合的基本运算###
- 模糊集间的包含 设A, B\(\in \mathscr{F}\)(U), 对任何 \(\forall x \in U\)，均有\(A(x) \leq B(x)\)，则称A包含于B，或A是B的子集，记作\(A \subseteq B\)
- 模糊集的并集 设A, B\(\in \mathscr{F}\)(U), 对任何 \(\forall x \in U\)，均有： $$C(x) = A(x) \lor B(x) = max[A(x), B(x)]$$ 则称C为A和B的并集，记作\(C = A \cup B\)。式子中“\(\lor\)”表示对两边取大运算
- 模糊集的交集 设A, B\(\in \mathscr{F}\)(U), 对任何 \(\forall x \in U\)，均有： $$C(x) = A(x) \land B(x) = min[A(x), B(x)]$$ 则称C为A和B的并集，记作\(C = A \land B\)。式子中“\(\land\)”表示对两边取小运算
- 模糊集的补集 设A, B\(\in \mathscr{F}\)(U), 对任何 \(\forall x \in U\)，均有： $$B(x) \equiv 1 - A(x)$$ 则称B为A的补集，记作\(B = A^{C}\) 或 \(B=\bar{A}\)
模糊关系及其运算##
集合的直积###
设两个集合\(A, B, \in \mathscr{F}(U)\)，若从A、B中各取一个元素\(x \in A\)，\(y \in B\)，按照先A后B的顺序搭配成元素对 \((x, y)\)，称它们为序偶或序对。所有以序偶\((x, y)\)为元素构成的集合，成为集合A到B的直积（或笛卡尔儿积），记为：
\[A \times B = \{ (x, y) | x \in A, y \in B \}
\]
二元直积是一个以序对为元素的集合，一般情况下，\(A \times B \neq B \times A\)
二元直积可以推广。设有\(n\)个集合 \(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} \in \mathscr{F}(U)\)，则定义：
\[A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n} = \{ ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} ) | x_{i} \in A_{i}, i = 1, 2, \cdots, n \}
\]
为\(A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n}\)的\(n\)元直积。\(n\)元直积也是一个集合，这个集合的元素是按照一定顺序取自不同集合\(A_{i} (i = 1, 2, \cdots, n)\)的\(n\)个元素组成的有序数组。
经典二元关系及其表示方式###
二元直积\(A \times B\) 是一个以序对\((x, y)\) 为元素的集合，他是两个集合元素间无约束的搭配。若给搭配以一定的限制、约束或条件\(R\)，便可形成直积\(A \times B\) 上的一个子集\(R\)，它体现了某种特定的关系，称\(R\)为\(A\)到\(B\)的二元关系。任意序对\((x, y) \in R\)，则称\(x\) 与\(y\)相关，记为\(x R y\)；否则\((x, y) \notin R\)，即\(x\)与\(y\)不相关，记为\(x \bar{R} y\)。
不同条件、限制和约束\(R\)，将形成直积\(A \times B\)上的多个不同子集。二元关系的子集和一般集合一样，可以用穷举法、描述法等方法表示。
二元关系的表格表示法####
表格法就是画出一张平面表，“列”中写出一个集合的所有元素，“行”中写出另一个集合的元素。若两个元素相关，则在表中它们所在行和列交叉点上标出数字“1”，否则标出数字“0”。
例如，一个家庭中有爷爷、奶奶、父亲、母亲、哥哥和妹妹留人，它们之间父母与子女关系，统称为父子关系。
| \(R\) | 爷爷 | 奶奶 | 父亲 | 母亲 | 哥哥 | 妹妹 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 爷爷 | 1 | |||||
| 奶奶 | 1 | |||||
| 父亲 | 1 | 1 | ||||
| 母亲 | 1 | 1 | ||||
| 奶奶 | ||||||
| 奶奶 |
二元关系的矩阵表示法####
两个属于离散论域上集合间的“关系”，也可以用平面矩阵表示。通常对于两个有限集合，若\(A = \{ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m} \}\) 和 \(B = \{ b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n} \}\)，\(R\)为从\(A\) 到\(B\)的一个二元关系，则可以用平面矩阵表示，这个二元关系矩阵\(R = [ r_{ij} ]_{m \times n}\)，其中的元素\(r_{ij}\)按照下面规定取值:
\[r_{ij}=\left\{\begin{matrix}
1 &(a_{i}, b_{j}) \in R \\
0& (a_{i}, b_{j}) \notin R
\end{matrix}\right. \ \ \ (i= 1, 2, \cdots, m, j = 1, 2, \cdots, n)\]
把表示集合间关系的矩阵成为关系矩阵。这类元素只能取0和1的矩阵，成为布尔矩阵。表示经典二元关系的矩阵都是布尔矩阵。
上式中，父子关系可以取为：
\[R=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0 &1 &1 \\
0 & 0 & 0 & 0 &1 &1 \\
0 & 0 & 0 & 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0 &0 &0 \\
\end{bmatrix}\]
三步构建二元矩阵关系\(R\)
-
先对代表集合的矩阵\(A\)进行强行拉直，记作\(\overrightarrow{A}\)。
设\(A = (a_{ij})_{m \times n}\)，则称下\(mn\)维列向量维矩阵\(A\)的按照行拉直：
\[\overrightarrow{A} = (a_{11}, \cdots, a_{1n}, \cdots, a_{2n}, \cdots, a_{m1}, \cdots, a_{mn})^{T}
\]
即，先将\(A\)逐行连接成一个行矩阵（行向量），在转置称列矩阵（列向量）。例如：
设\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 &3 \\
4 & 5 &6
\end{bmatrix}\)，则\(\overrightarrow{A} = (1, 2, 3, 4, 5, 6)^{T}\) ；设\(B=\begin{bmatrix}
7\\
8\\
9
\end{bmatrix}\)（列阵），则\(\overrightarrow{B}=\begin{bmatrix}
7\\
8\\
9
\end{bmatrix}=B\) ；
设\(C=\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5
\end{bmatrix}\)（行阵），则\(\overrightarrow{C}=\begin{bmatrix}
1 \\ 3\\ 5
\end{bmatrix} =C^{T}\)。
可见，任何一个矩阵“按行拉直”后，就都成为一个列矩阵（列向量）。
2. 对\(\overrightarrow{A}\)和\(B\)进行无条件的“搭配组合”运算\(\overrightarrow{A}\oplus B\)，构成直积\(A \times B\)。
\(\overrightarrow{A}\oplus B\)的运算跟普通矩阵乘法一样，只是将元素间的“乘”改为“搭配组合”，从而构成序对。例如，已知：\(A =(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m})\)，\(B = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n})\)，则：
\[A \times B = \overrightarrow{A}\oplus B = \begin{bmatrix}
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{m}
\end{bmatrix} \oplus\begin{bmatrix}
b_{1} & b_{2} & \vdots & b_{n}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
(a_{1}, b_{1}) & (a_{1,b_{2}}) &\cdots &(a_{1},b_{n}) \\
(a_{2}, b_{1}) & (a_{2},b_{2}) &\cdots &(a_{2},b_{n})\\
\vdots&\vdots & &\vdots \\
(a_{m},b_{1})& (a_{m},b_{2}) & \cdots & (a_{m},b_{n})
\end{bmatrix}\]
-
求出满足约束条件的二元关系矩阵\(R\)。
若某个二元关系\(R \in A \times B\)，则可由直积\(A \times B\)中满足某种条件的元素构成\(R\)矩阵。为此将矩阵\(A \times B\) 的元素\((a_{i}, b_{j})\)（任意搭配），改为\(R(a_{I}, b_{j})\)（满足约束条件\(R\)的搭配），表示该元素对满足设定条件\(R\)的程度，即序对\((a_{i}, b_{j})\)属于关系\(R\)的特征函数，成为矩阵\(R\)的元素。于是可以得出： $$R=R(\overrightarrow{A}\oplus B)=\begin{bmatrix}
R(a_{1}, b_{1}) & R(a_{1,b_{2}}) &\cdots &R(a_{1},b_{n}) \
R(a_{2}, b_{1}) & R(a_{2},b_{2}) &\cdots &R (a_{2},b_{n})\
\vdots&\vdots & &\vdots \
R(a_{m},b_{1})& R(a_{m},b_{2}) & \cdots & R(a_{m},b_{n})
\end{bmatrix}$$
\(F\)关系的合成###
经典关系合成####
若用a，b，c分别表示爷爷，父亲，孙子，可用\(R_{1}\)和\(R_{2}\)分别表示两个“父子关系”，则\((a, b) \in R_{1}\)且\((b, c) \in R_{2}\)，祖孙关系\(R_{3}(a, c)\)可以认为是\(R_{1}(a,b)\)和\(R_{2}(b,c)\)的合成，记作\(R_{3} = R_{1} \circ R_{2}\)，符号“\(\circ\)”表示将两边的关系合成运算。下面给出合成预算的一般定义：
一般，设论域\(U\)上三个集合\(X\)，\(Y\)，\(Z \in \mathscr{P}(U)\)，\(P\)和\(Q\)为两个景点关系：\(P \in \mathscr{P}(X \times Y)\)，\(Q \in \mathscr{P}(Y \times Z)\)，则由 \(P\) 和 \(Q\) 合成关系 \(R\in \mathscr{P} (X \times Z)\)，记作：
\[\mathscr{P}(X \times Y)
\]
\[R(x,z) = (P\circ Q)(x,z) = \{ (x,z)| \exists y, (x,y) \in P, (y,z)\in Q \}
\]
式中，“\(\exists y\)”表示对于任意\(y\)。
若用集合的特征函数表示合成关系，可以导出关系式为：
\[R(x,z) = (P\circ Q)(x,z)=\mathop {\lor}\limits_{y\in Y}(P(x,y)\land Q(y,z))
\]
若论域\(U\)是离散的，则关系\(P\)、\(Q\)、\(R\)可以用矩阵表示。令\(p\)、\(q\)、\(r\)分别为\(P\)、\(Q\)、\(R\)的元素，则存在关系式：
\[r_{ij} = \mathop {\lor}\limits_{k}(p_{ik} \land q_{kj})
\]
该方法记为“取大-取小合成法”也记为“\(\lor - \land\)”
设元素\(a, b, c, d, e, f, g \in \mathscr{R}\)，已知他们间的大于关系如表所示
| \(a>c\) | \(b\ngtr c\) | \(c\ngtr f\) | \(d>g\) |
|---|---|---|---|
| \(a\ngtr d\) | \(b \ngtr d\) | \(c>g\) | \(e\ngtr f\) |
| \(a>e\) | \(b>e\) | \(d>f\) | \(e\ngtr g\) |
设\(U1, U2, U3 \in \mathscr{P}(R)\)，且\(U1=\{ a,b \}\), \(U2 = \{ c, d, e \}\), \(U3 = \{ f, g \}\)。\(R_{1}, R_{2}, R_{3}\)均表示“大于关系”，\(R_{12} \in \mathscr{P}(U1 \times U2)\)，\(R_{23} \in \mathscr{P}(U2 \times U3)\)。求 \(R_{13} \in \mathscr{P}(U1 \times U3)\) 。
两步：
- 先求出 \(R_{12}, R_{23}\)。
\[R_{12}= \overrightarrow{U}1 \oplus U2 = \begin{bmatrix}
a\\
b
\end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix}
c & d & e
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
R(a,c) & R(a,d) & R(a,e)\\
R(b,c) & R(b,d) & R(b, e)
\end{bmatrix}\]
\(R_{12}\)的每个元素都表示满足“大于”条件搭配，如\(R(a,c)=1,R(a,d)=0,\cdots\)
得出\(R=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\)。同理：
\[R_{23}= \overrightarrow{U}2 \oplus U3 = \begin{bmatrix}
c\\
d\\
e
\end{bmatrix} \oplus
\begin{bmatrix}
f & g
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
R(c,f) & R(c,g) \\
R(d,f) & R(d,g) \\
R(e,f) & R(e, g)
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 1\\
0 &0
\end{bmatrix}\]
- 合成\(R_{13}\)
\[R_{13} = R_{12} \circ R_{23} = \begin{bmatrix}
R(a,c) & R(a,d) & R(a,e)\\
R(b,c) & R(b,d) & R(b, e)
\end{bmatrix} \circ
\begin{bmatrix}
R(c,f) & R(c,g) \\
R(d,f) & R(d,g) \\
R(e,f) & R(e, g)
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
R(a,f) & R(a,g)\\
R(b,f) & R(b,g)
\end{bmatrix}\]
其中：
\[ \begin{matrix}
R(a,f)=(R(a,c)\land R(c,f)) \lor (R(a,d)\land R(d,f)) \lor (R(a,e)\land R(e,f))\\
R(b,f)=(R(b,c)\land R(c,f)) \lor (R(b,d)\land R(d,f)) \lor (R(b,e)\land R(e,f))\\
R(a,g)=(R(a,c)\land R(c,g)) \lor (R(a,d)\land R(d,g)) \lor (R(a,e)\land R(e,g))\\
R(b,g)=(R(b,c)\land R(c,g)) \lor (R(b,d)\land R(d,g)) \lor (R(b,e)\land R(e,g))
\end{matrix}\]
即有\(R_{13}=\begin{bmatrix}
(1\land 0)\lor (0\land 1) \lor (1\land 0) & (1\land 1)\lor (0\land 1) \lor (1\land 0) \\
(0\land 1)\lor (0\land 1) \lor (1\land 0) & (0\land 1)\lor (0\land 1) \lor (1\land 0)
\end{bmatrix}\)
\[R_{13}=R_{12}\circ R_{23} = \begin{bmatrix}
1 & 0 &1 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \circ
\begin{bmatrix}
0 &1 \\
1 &1 \\
0 & 0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}\]
该结果表明\(a \ngtr f, a>g, b \ngtr f, b \ngtr g\)
取大-乘积合成法\(\lor - *\)####
由于\(F\)矩阵的元素都小于1，合成时，两个元素“取小”和“相乘”结果相差不大：
\[(P\circ Q)(x,z) = \mathop {\lor}\limits_{x \in Y}(P(x,y)\times Q(y,z))
\]
下面给出算例：
\[R(x,z)=(P\circ Q)(x,z)=\begin{bmatrix}
0.3 &0.9 \\
1.0 &0 \\
0.95 &0.1
\end{bmatrix}\circ
\begin{bmatrix}
0.95 & 0.1\\
0.1 & 0.9
\end{bmatrix} \]
\[=\begin{bmatrix}
(0.3 \times 0.95) \land (0.9\times 0.1) & (0.3\times 0.1)\land (0.9\times0.9) \\
(1.0\times 0.95)\land (0\times 0.1) & (1.0\times 0.1)\land (0\times 0.9) \\
(0.95\times 0.95)\land (0.1\times 0.1) & (0.95\times 0.1)\land (0.1\times 0.9)
\end{bmatrix}\]
\[ =\begin{bmatrix}
0.285 &0.81 \\
0.95 &0.1 \\
0.9025 &0.095
\end{bmatrix}\]
模糊向清晰转化##
面积中心（重心）法###
面积重心法就是求出模糊集合隶属函数曲线和横坐标包围区域面积的中心，选取这个中心对应的横坐标值，作为这个模糊集合的代表值。
设论域\(U\)上\(F\)集合\(A\)的隶属度函数为\(A(u)\)，\(u\in U\)。假设面积中心对应的横坐标为\(u_{cen}\)，按照面积中心法的定义，公式为：
\[u_{cen}=\frac{\int_{U}A(u)du}{\int_{U}A(u)du}
\]
如果论域\(U=\{ u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n} \}\)是离散的，\(u_{j}\)处隶属度为\(A(u_{j})\)，则\(u_{cen}\)可由下式算出：
\[u_{cen}=\frac{\sum_{j=1}^{n}u_{j}A(u_{j})}{\sum_{j=1}^{n}A(u_{j})}
\]
面积平分法###
面积平分法是求出模糊集合隶属函数曲线和横坐标包围的面积，再找出该面积等分成两份的平分线对应的坐标值，用该值代表该模糊集，故城面积平分法。
设论域\(U\)上\(F\)集合\(A\)的隶属函数为\(A(u), u\in U\)。假设隶属函数曲线和横坐标包围区域面积平分线对应的横坐标\(u_{bis}\)，设\(u \in [a, b]\)，则\(u_{bis}\)的取值可由下式算出：
\[\int_{a}^{u_{bis}}A(u)du=\int_{u_{bis}}^{b}A(u)du= \frac{1}{2}\int_{a}^{b}A(u)du
\]
最大隶属度法###
通常的模糊集合并非都是正规的和凸的，隶属函数也并非都是一条连续曲线。因此，用隶属度最大点对应的函数值，代表这个模糊集合也是一种简单的方法，成为最大隶属度法。
-
最大隶属度平均法（lom）
如果在模糊集合的论域上，有多个点取得最大隶属度值，取这些点的平均值\(u_{mom}\)的横坐标作为模糊集合的代表点，这个方法成为最大隶属度平均值。
设\(A(u_{j}) = \max (A(u)), j=1, 2, \cdots, n\)，则\(n\)个点的隶属度都去最大，有：
\[u_{mom}=\frac{\sum_{j=1}^{n}u_{j}}{n}
\]
-
最大值法
如果模糊集合论域删，有多个点\(u\)的隶属度都取最大值，可取这些点中坐标值最大的点\(u_{lom}\)作为模糊集合的代表点，这个方法为最大隶属度最大值法。
设有\(n\)个点隶属度都取得最大值，即\(A(u_{j}) = \max (A(u)), j =1, 2, \cdots, n\)，则取绝对值最大点$\max (|u_{j}|) = |u_{k}| $作为模糊集合的代表点，即：
\[u_{lom} = u_{k}
\]
-
最小值法
如果模糊集合论域删，有多个点\(u\)的隶属度都取最大值，可取这些点中坐标值最大的点\(u_{som}\)作为模糊集合的代表点，这个方法为最大隶属度最小值法。
设有\(n\)个点隶属度都取得最大值，即\(A(u_{j}) = \max (A(u)), j =1, 2, \cdots, n\)，则取绝对值最大点$\min (|u_{j}|) = |u_{k}| $作为模糊集合的代表点，即：
\[u_{som} = u_{k}
\]
算例：