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模糊集合的數學基礎##
模糊數###
F集合的支集、核和正規 \(F\)####
設$A \in \mathscr{F}(U) $，記集合
Supp\(A =\{ x|x \in U, A(x)>0 \}\)，稱Supp\(A\)為\(F\)集合\(A\)的的支集。
Ker\(A = \{ x| x \in U, A(x)=1\}\)，稱Ker\(A\)為\(F\)集合\(A\)的核。
把Ker$A \neq \emptyset $的F集合A成為正規F集
數\(\lambda\)與集合A的數積####
設\(A \in \mathscr{F}(U)\)，\(\lambda \in [0,1]\), \(x \in U\)。據此，可以定義一個新的集合“\(\lambda\)A”，它滿足下面幾個條件：
\[(\lambda A)(x) =\lambda \land A(x)
\]
模糊集合的表示方法###
序對法####
當F集合的論域U為有限集合或可數集合是，F集合的A表示為:
\[A=\{ (x_{i}, A(x_{i})) | x_{i} \in U, i=1,2, \cdots, n \} \\
= \{ (x_{1}, A(x_{1})), (x_{2}, A(x_{2})), \cdots, (x_{n}, A(x_{n})) \} \]
紮德法####
當論域U是優先級或可數集時，F集合A課表示為：
\[A = \sum \frac{A(x_{i})}{x_{i}}
\]
向量法####
\[A =( A(x_{1}), A(x_{2}), \cdots, A(x_{n}) )
\]
例子：
- 序對法 A={(1,0), (2, 0.2), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.8), (6, 0.2)}
- 紮德法 $ A = \frac{0}{1} + \frac{0.2}{2} + \frac{0.8}{3} + \frac{1}{4} + \frac{0.8}{5} + \frac{0.2}{6}$
- 向量法 A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
F集合的基本運算###
- 模糊集間的包含 設A, B\(\in \mathscr{F}\)(U), 對任何 \(\forall x \in U\)，均有\(A(x) \leq B(x)\)，則稱A包含于B，或A是B的子集，記作\(A \subseteq B\)
- 模糊集的并集 設A, B\(\in \mathscr{F}\)(U), 對任何 \(\forall x \in U\)，均有： $$C(x) = A(x) \lor B(x) = max[A(x), B(x)]$$ 則稱C為A和B的并集，記作\(C = A \cup B\)。式子中“\(\lor\)”表示對兩邊取大運算
- 模糊集的交集 設A, B\(\in \mathscr{F}\)(U), 對任何 \(\forall x \in U\)，均有： $$C(x) = A(x) \land B(x) = min[A(x), B(x)]$$ 則稱C為A和B的并集，記作\(C = A \land B\)。式子中“\(\land\)”表示對兩邊取小運算
- 模糊集的補集 設A, B\(\in \mathscr{F}\)(U), 對任何 \(\forall x \in U\)，均有： $$B(x) \equiv 1 - A(x)$$ 則稱B為A的補集，記作\(B = A^{C}\) 或 \(B=\bar{A}\)
模糊關系及其運算##
集合的直積###
設兩個集合\(A, B, \in \mathscr{F}(U)\)，若從A、B中各取一個元素\(x \in A\)，\(y \in B\)，按照先A後B的順序搭配成元素對 \((x, y)\)，稱它們為序偶或序對。所有以序偶\((x, y)\)為元素構成的集合，成為集合A到B的直積（或笛卡爾兒積），記為：
\[A \times B = \{ (x, y) | x \in A, y \in B \}
\]
二進制直積是一個以序對為元素的集合，一般情況下，\(A \times B \neq B \times A\)
二進制直積可以推廣。設有\(n\)個集合 \(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} \in \mathscr{F}(U)\)，則定義：
\[A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n} = \{ ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} ) | x_{i} \in A_{i}, i = 1, 2, \cdots, n \}
\]
為\(A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n}\)的\(n\)元直積。\(n\)元直積也是一個集合，這個集合的元素是按照一定順序取自不同集合\(A_{i} (i = 1, 2, \cdots, n)\)的\(n\)個元素組成的有序數組。
經典二進制關系及其表示方式###
二進制直積\(A \times B\) 是一個以序對\((x, y)\) 為元素的集合，他是兩個集合元素間無限制的搭配。若給搭配以一定的限制、限制或條件\(R\)，便可形成直積\(A \times B\) 上的一個子集\(R\)，它展現了某種特定的關系，稱\(R\)為\(A\)到\(B\)的二進制關系。任意序對\((x, y) \in R\)，則稱\(x\) 與\(y\)相關，記為\(x R y\)；否則\((x, y) \notin R\)，即\(x\)與\(y\)不相關，記為\(x \bar{R} y\)。
不同條件、限制和限制\(R\)，将形成直積\(A \times B\)上的多個不同子集。二進制關系的子集和一般集合一樣，可以用窮舉法、描述法等方法表示。
二進制關系的表格表示法####
表格法就是畫出一張平面表，“列”中寫出一個集合的所有元素，“行”中寫出另一個集合的元素。若兩個元素相關，則在表中它們所在行和列交叉點上标出數字“1”，否則标出數字“0”。
例如，一個家庭中有爺爺、奶奶、父親、母親、哥哥和妹妹留人，它們之間父母與子女關系，統稱為父子關系。
| \(R\) | 爺爺 | 奶奶 | 父親 | 母親 | 哥哥 | 妹妹 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 爺爺 | 1 | |||||
| 奶奶 | 1 | |||||
| 父親 | 1 | 1 | ||||
| 母親 | 1 | 1 | ||||
| 奶奶 | ||||||
| 奶奶 |
二進制關系的矩陣表示法####
兩個屬于離散論域上集合間的“關系”，也可以用平面矩陣表示。通常對于兩個有限集合，若\(A = \{ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m} \}\) 和 \(B = \{ b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n} \}\)，\(R\)為從\(A\) 到\(B\)的一個二進制關系，則可以用平面矩陣表示，這個二進制關系矩陣\(R = [ r_{ij} ]_{m \times n}\)，其中的元素\(r_{ij}\)按照下面規定取值:
\[r_{ij}=\left\{\begin{matrix}
1 &(a_{i}, b_{j}) \in R \\
0& (a_{i}, b_{j}) \notin R
\end{matrix}\right. \ \ \ (i= 1, 2, \cdots, m, j = 1, 2, \cdots, n)\]
把表示集合間關系的矩陣成為關系矩陣。這類元素隻能取0和1的矩陣，成為布爾矩陣。表示經典二進制關系的矩陣都是布爾矩陣。
上式中，父子關系可以取為：
\[R=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0 &1 &1 \\
0 & 0 & 0 & 0 &1 &1 \\
0 & 0 & 0 & 0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0 &0 &0 \\
\end{bmatrix}\]
三步建構二進制矩陣關系\(R\)
-
先對代表集合的矩陣\(A\)進行強行拉直，記作\(\overrightarrow{A}\)。
設\(A = (a_{ij})_{m \times n}\)，則稱下\(mn\)維列向量維矩陣\(A\)的按照行拉直：
\[\overrightarrow{A} = (a_{11}, \cdots, a_{1n}, \cdots, a_{2n}, \cdots, a_{m1}, \cdots, a_{mn})^{T}
\]
即，先将\(A\)逐行連接配接成一個行矩陣（行向量），在轉置稱列矩陣（列向量）。例如：
設\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 &3 \\
4 & 5 &6
\end{bmatrix}\)，則\(\overrightarrow{A} = (1, 2, 3, 4, 5, 6)^{T}\) ；設\(B=\begin{bmatrix}
7\\
8\\
9
\end{bmatrix}\)（列陣），則\(\overrightarrow{B}=\begin{bmatrix}
7\\
8\\
9
\end{bmatrix}=B\) ；
設\(C=\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5
\end{bmatrix}\)（行陣），則\(\overrightarrow{C}=\begin{bmatrix}
1 \\ 3\\ 5
\end{bmatrix} =C^{T}\)。
可見，任何一個矩陣“按行拉直”後，就都成為一個列矩陣（列向量）。
2. 對\(\overrightarrow{A}\)和\(B\)進行無條件的“搭配組合”運算\(\overrightarrow{A}\oplus B\)，構成直積\(A \times B\)。
\(\overrightarrow{A}\oplus B\)的運算跟普通矩陣乘法一樣，隻是将元素間的“乘”改為“搭配組合”，進而構成序對。例如，已知：\(A =(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m})\)，\(B = (b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n})\)，則：
\[A \times B = \overrightarrow{A}\oplus B = \begin{bmatrix}
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{m}
\end{bmatrix} \oplus\begin{bmatrix}
b_{1} & b_{2} & \vdots & b_{n}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
(a_{1}, b_{1}) & (a_{1,b_{2}}) &\cdots &(a_{1},b_{n}) \\
(a_{2}, b_{1}) & (a_{2},b_{2}) &\cdots &(a_{2},b_{n})\\
\vdots&\vdots & &\vdots \\
(a_{m},b_{1})& (a_{m},b_{2}) & \cdots & (a_{m},b_{n})
\end{bmatrix}\]
-
求出滿足限制條件的二進制關系矩陣\(R\)。
若某個二進制關系\(R \in A \times B\)，則可由直積\(A \times B\)中滿足某種條件的元素構成\(R\)矩陣。為此将矩陣\(A \times B\) 的元素\((a_{i}, b_{j})\)（任意搭配），改為\(R(a_{I}, b_{j})\)（滿足限制條件\(R\)的搭配），表示該元素對滿足設定條件\(R\)的程度，即序對\((a_{i}, b_{j})\)屬于關系\(R\)的特征函數，成為矩陣\(R\)的元素。于是可以得出： $$R=R(\overrightarrow{A}\oplus B)=\begin{bmatrix}
R(a_{1}, b_{1}) & R(a_{1,b_{2}}) &\cdots &R(a_{1},b_{n}) \
R(a_{2}, b_{1}) & R(a_{2},b_{2}) &\cdots &R (a_{2},b_{n})\
\vdots&\vdots & &\vdots \
R(a_{m},b_{1})& R(a_{m},b_{2}) & \cdots & R(a_{m},b_{n})
\end{bmatrix}$$
\(F\)關系的合成###
經典關系合成####
若用a，b，c分别表示爺爺，父親，孫子，可用\(R_{1}\)和\(R_{2}\)分别表示兩個“父子關系”，則\((a, b) \in R_{1}\)且\((b, c) \in R_{2}\)，祖孫關系\(R_{3}(a, c)\)可以認為是\(R_{1}(a,b)\)和\(R_{2}(b,c)\)的合成，記作\(R_{3} = R_{1} \circ R_{2}\)，符号“\(\circ\)”表示将兩邊的關系合成運算。下面給出合成預算的一般定義：
一般，設論域\(U\)上三個集合\(X\)，\(Y\)，\(Z \in \mathscr{P}(U)\)，\(P\)和\(Q\)為兩個景點關系：\(P \in \mathscr{P}(X \times Y)\)，\(Q \in \mathscr{P}(Y \times Z)\)，則由 \(P\) 和 \(Q\) 合成關系 \(R\in \mathscr{P} (X \times Z)\)，記作：
\[\mathscr{P}(X \times Y)
\]
\[R(x,z) = (P\circ Q)(x,z) = \{ (x,z)| \exists y, (x,y) \in P, (y,z)\in Q \}
\]
式中，“\(\exists y\)”表示對于任意\(y\)。
若用集合的特征函數表示合成關系，可以導出關系式為：
\[R(x,z) = (P\circ Q)(x,z)=\mathop {\lor}\limits_{y\in Y}(P(x,y)\land Q(y,z))
\]
若論域\(U\)是離散的，則關系\(P\)、\(Q\)、\(R\)可以用矩陣表示。令\(p\)、\(q\)、\(r\)分别為\(P\)、\(Q\)、\(R\)的元素，則存在關系式：
\[r_{ij} = \mathop {\lor}\limits_{k}(p_{ik} \land q_{kj})
\]
該方法記為“取大-取小合成法”也記為“\(\lor - \land\)”
設元素\(a, b, c, d, e, f, g \in \mathscr{R}\)，已知他們間的大于關系如表所示
| \(a>c\) | \(b\ngtr c\) | \(c\ngtr f\) | \(d>g\) |
|---|---|---|---|
| \(a\ngtr d\) | \(b \ngtr d\) | \(c>g\) | \(e\ngtr f\) |
| \(a>e\) | \(b>e\) | \(d>f\) | \(e\ngtr g\) |
設\(U1, U2, U3 \in \mathscr{P}(R)\)，且\(U1=\{ a,b \}\), \(U2 = \{ c, d, e \}\), \(U3 = \{ f, g \}\)。\(R_{1}, R_{2}, R_{3}\)均表示“大于關系”，\(R_{12} \in \mathscr{P}(U1 \times U2)\)，\(R_{23} \in \mathscr{P}(U2 \times U3)\)。求 \(R_{13} \in \mathscr{P}(U1 \times U3)\) 。
兩步：
- 先求出 \(R_{12}, R_{23}\)。
\[R_{12}= \overrightarrow{U}1 \oplus U2 = \begin{bmatrix}
a\\
b
\end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix}
c & d & e
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
R(a,c) & R(a,d) & R(a,e)\\
R(b,c) & R(b,d) & R(b, e)
\end{bmatrix}\]
\(R_{12}\)的每個元素都表示滿足“大于”條件搭配，如\(R(a,c)=1,R(a,d)=0,\cdots\)
得出\(R=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\)。同理：
\[R_{23}= \overrightarrow{U}2 \oplus U3 = \begin{bmatrix}
c\\
d\\
e
\end{bmatrix} \oplus
\begin{bmatrix}
f & g
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
R(c,f) & R(c,g) \\
R(d,f) & R(d,g) \\
R(e,f) & R(e, g)
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 1\\
0 &0
\end{bmatrix}\]
- 合成\(R_{13}\)
\[R_{13} = R_{12} \circ R_{23} = \begin{bmatrix}
R(a,c) & R(a,d) & R(a,e)\\
R(b,c) & R(b,d) & R(b, e)
\end{bmatrix} \circ
\begin{bmatrix}
R(c,f) & R(c,g) \\
R(d,f) & R(d,g) \\
R(e,f) & R(e, g)
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
R(a,f) & R(a,g)\\
R(b,f) & R(b,g)
\end{bmatrix}\]
其中：
\[ \begin{matrix}
R(a,f)=(R(a,c)\land R(c,f)) \lor (R(a,d)\land R(d,f)) \lor (R(a,e)\land R(e,f))\\
R(b,f)=(R(b,c)\land R(c,f)) \lor (R(b,d)\land R(d,f)) \lor (R(b,e)\land R(e,f))\\
R(a,g)=(R(a,c)\land R(c,g)) \lor (R(a,d)\land R(d,g)) \lor (R(a,e)\land R(e,g))\\
R(b,g)=(R(b,c)\land R(c,g)) \lor (R(b,d)\land R(d,g)) \lor (R(b,e)\land R(e,g))
\end{matrix}\]
即有\(R_{13}=\begin{bmatrix}
(1\land 0)\lor (0\land 1) \lor (1\land 0) & (1\land 1)\lor (0\land 1) \lor (1\land 0) \\
(0\land 1)\lor (0\land 1) \lor (1\land 0) & (0\land 1)\lor (0\land 1) \lor (1\land 0)
\end{bmatrix}\)
\[R_{13}=R_{12}\circ R_{23} = \begin{bmatrix}
1 & 0 &1 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \circ
\begin{bmatrix}
0 &1 \\
1 &1 \\
0 & 0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}\]
該結果表明\(a \ngtr f, a>g, b \ngtr f, b \ngtr g\)
取大-乘積合成法\(\lor - *\)####
由于\(F\)矩陣的元素都小于1，合成時，兩個元素“取小”和“相乘”結果相差不大：
\[(P\circ Q)(x,z) = \mathop {\lor}\limits_{x \in Y}(P(x,y)\times Q(y,z))
\]
下面給出算例：
\[R(x,z)=(P\circ Q)(x,z)=\begin{bmatrix}
0.3 &0.9 \\
1.0 &0 \\
0.95 &0.1
\end{bmatrix}\circ
\begin{bmatrix}
0.95 & 0.1\\
0.1 & 0.9
\end{bmatrix} \]
\[=\begin{bmatrix}
(0.3 \times 0.95) \land (0.9\times 0.1) & (0.3\times 0.1)\land (0.9\times0.9) \\
(1.0\times 0.95)\land (0\times 0.1) & (1.0\times 0.1)\land (0\times 0.9) \\
(0.95\times 0.95)\land (0.1\times 0.1) & (0.95\times 0.1)\land (0.1\times 0.9)
\end{bmatrix}\]
\[ =\begin{bmatrix}
0.285 &0.81 \\
0.95 &0.1 \\
0.9025 &0.095
\end{bmatrix}\]
模糊向清晰轉化##
面積中心（重心）法###
面積重心法就是求出模糊集合隸屬函數曲線和橫坐标包圍區域面積的中心，選取這個中心對應的橫坐标值，作為這個模糊集合的代表值。
設論域\(U\)上\(F\)集合\(A\)的隸屬度函數為\(A(u)\)，\(u\in U\)。假設面積中心對應的橫坐标為\(u_{cen}\)，按照面積中心法的定義，公式為：
\[u_{cen}=\frac{\int_{U}A(u)du}{\int_{U}A(u)du}
\]
如果論域\(U=\{ u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n} \}\)是離散的，\(u_{j}\)處隸屬度為\(A(u_{j})\)，則\(u_{cen}\)可由下式算出：
\[u_{cen}=\frac{\sum_{j=1}^{n}u_{j}A(u_{j})}{\sum_{j=1}^{n}A(u_{j})}
\]
面積平分法###
面積平分法是求出模糊集合隸屬函數曲線和橫坐标包圍的面積，再找出該面積等分成兩份的平分線對應的坐标值，用該值代表該模糊集，故城面積平分法。
設論域\(U\)上\(F\)集合\(A\)的隸屬函數為\(A(u), u\in U\)。假設隸屬函數曲線和橫坐标包圍區域面積平分線對應的橫坐标\(u_{bis}\)，設\(u \in [a, b]\)，則\(u_{bis}\)的取值可由下式算出：
\[\int_{a}^{u_{bis}}A(u)du=\int_{u_{bis}}^{b}A(u)du= \frac{1}{2}\int_{a}^{b}A(u)du
\]
最大隸屬度法###
通常的模糊集合并非都是正規的和凸的，隸屬函數也并非都是一條連續曲線。是以，用隸屬度最大點對應的函數值，代表這個模糊集合也是一種簡單的方法，成為最大隸屬度法。
-
最大隸屬度平均法（lom）
如果在模糊集合的論域上，有多個點取得最大隸屬度值，取這些點的平均值\(u_{mom}\)的橫坐标作為模糊集合的代表點，這個方法成為最大隸屬度平均值。
設\(A(u_{j}) = \max (A(u)), j=1, 2, \cdots, n\)，則\(n\)個點的隸屬度都去最大，有：
\[u_{mom}=\frac{\sum_{j=1}^{n}u_{j}}{n}
\]
-
最大值法
如果模糊集合論域删，有多個點\(u\)的隸屬度都取最大值，可取這些點中坐标值最大的點\(u_{lom}\)作為模糊集合的代表點，這個方法為最大隸屬度最大值法。
設有\(n\)個點隸屬度都取得最大值，即\(A(u_{j}) = \max (A(u)), j =1, 2, \cdots, n\)，則取絕對值最大點$\max (|u_{j}|) = |u_{k}| $作為模糊集合的代表點，即：
\[u_{lom} = u_{k}
\]
-
最小值法
如果模糊集合論域删，有多個點\(u\)的隸屬度都取最大值，可取這些點中坐标值最大的點\(u_{som}\)作為模糊集合的代表點，這個方法為最大隸屬度最小值法。
設有\(n\)個點隸屬度都取得最大值，即\(A(u_{j}) = \max (A(u)), j =1, 2, \cdots, n\)，則取絕對值最大點$\min (|u_{j}|) = |u_{k}| $作為模糊集合的代表點，即：
\[u_{som} = u_{k}
\]
算例：