相关系数矩阵计算_CFA隐含的方差协方差矩阵

    结构方程建模就是寻找一个模型其隐含的方差-协方差矩阵能够最大程度的接近样本数据的方差-协方差矩阵。样本的方差-协方差矩阵大家都比较熟悉，基础统计都会介绍方差和协方差的公式，通过公式手动计算亦可；CFA模型隐含的方差-协方差矩阵与之类似，也可以通过如下公式进行计算：

同一因子的2个条目之间的协方差：

Cov(x1,x2) = λ1,1 φ1,1 λ2,1

= 1.000* 2.491*0.586

=1.460

不同因子的2个条目之间的协方差：

Cov(x2, x7)=λ2,1 φ2,1 λ6,2

= 0.586* 0.913* 1.241

=.6639

误差相关的两个条目间的协方差：

Cov(x9, x10)=λ9,2φ2,2 λ10,2+δ9,10

=1.10 * 2.332*0.639+1.249

=2.888

当使用标准化结果时，变量间的协方差变成了变量间的相关系数，上述公式变成如下形式：

同一因子的2个条目之间的相关系数：

Cor(x1, x2)=λ1,1 φ1,1 λ2,1

由于标准化估计的因子方差为1(有时使用固定因子方差法来得到标准化的估计结果)，因子间的协方差变成因子间相关系数，所以标准化的变量相关可以简化为：

Cor(x1, x2)=λ1,1 λ2,1

=0.76*0.838

=0.637

不同因子2个条目之间的相关系数：

Cor(x2, x7)=λ2,1 φ2,1 λ7,2

=0.688*0.394*0.754

=0.204

误差相关的两个条目间的相关系数：

Cor(x9, x10)=λ9,2 φ2,2λ10,2+δ9,10

=0.630*0.418*0.559+0.418

=0.565

上述0.637，0.204和0.565是模型隐含的相关系数，与样本数据计算的相关系数0.516，0.170和0.621存在细微的差异，说明两个矩阵并非完美匹配。模型拟合评价就是通过比较两个矩阵(即样本方差协方差矩阵与模型隐含的方差协方差矩阵)的差异来判断理论模型与数据之间的匹配程度即模型拟合数据的程度(即卡方和各种拟合指数，具体见基础篇第5章)。如果样本方差协方差矩阵与模型隐含的方差协方差矩阵完全一样，将会得到完美的拟合结果，此时模型卡方为0，所有的模型拟合指数为最优值。

至于本例来说，模型隐含的相关系数与样本的相关系数存在细微的差异，所以模型拟合并非完美(卡方=46.159,CFI=0.991, TLI=0.988)。

 表1 十个题目的样本协方差矩阵

X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
X1	4.318
X2	1.443	1.812
X3	2.291	1.225	3.834
X4	1.174	0.775	0.964	1.555
X5	1.508	1.024	1.492	0.863	2.522
X6	1.252	0.326	0.748	0.486	0.425	3.312
X7	1.462	0.563	1.016	0.574	0.578	2.834	6.052
X8	1.412	0.564	1.173	0.591	0.737	2.754	3.204	5.607
X9	1.368	0.337	0.679	0.552	0.483	2.518	3.279	2.948	7.108
X10	0.881	0.301	0.383	0.257	0.432	1.470	1.846	1.731	2.889	3.045
SD	2.078	1.346	1.958	1.247	1.588	1.820	2.460	2.368	2.666	1.745

表2 十个题目的样本相关系数矩阵

X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
X1	1
X2	0.516	1
X3	0.563	0.465	1
X4	0.453	0.462	0.395	1
X5	0.457	0.479	0.480	0.436	1
X6	0.331	0.133	0.210	0.214	0.147	1
X7	0.286	0.170	0.211	0.187	0.148	0.633	1
X8	0.287	0.177	0.253	0.200	0.196	0.639	0.550	1
X9	0.247	0.094	0.130	0.166	0.114	0.519	0.500	0.467	1
X10	0.243	0.128	0.112	0.118	0.156	0.463	0.430	0.419	0.621	1
SD	2.078	1.346	1.958	1.247	1.588	1.820	2.460	2.368	2.666	1.745