相關系數矩陣計算_CFA隐含的方差協方差矩陣

    結構方程模組化就是尋找一個模型其隐含的方差-協方差矩陣能夠最大程度的接近樣本資料的方差-協方差矩陣。樣本的方差-協方差矩陣大家都比較熟悉，基礎統計都會介紹方差和協方差的公式，通過公式手動計算亦可；CFA模型隐含的方差-協方差矩陣與之類似，也可以通過如下公式進行計算：

同一因子的2個條目之間的協方差：

Cov(x1,x2) = λ1,1 φ1,1 λ2,1

= 1.000* 2.491*0.586

=1.460

不同因子的2個條目之間的協方差：

Cov(x2, x7)=λ2,1 φ2,1 λ6,2

= 0.586* 0.913* 1.241

=.6639

誤差相關的兩個條目間的協方差：

Cov(x9, x10)=λ9,2φ2,2 λ10,2+δ9,10

=1.10 * 2.332*0.639+1.249

=2.888

當使用标準化結果時，變量間的協方差變成了變量間的相關系數，上述公式變成如下形式：

同一因子的2個條目之間的相關系數：

Cor(x1, x2)=λ1,1 φ1,1 λ2,1

由于标準化估計的因子方差為1(有時使用固定因子方差法來得到标準化的估計結果)，因子間的協方差變成因子間相關系數，是以标準化的變量相關可以簡化為：

Cor(x1, x2)=λ1,1 λ2,1

=0.76*0.838

=0.637

不同因子2個條目之間的相關系數：

Cor(x2, x7)=λ2,1 φ2,1 λ7,2

=0.688*0.394*0.754

=0.204

誤差相關的兩個條目間的相關系數：

Cor(x9, x10)=λ9,2 φ2,2λ10,2+δ9,10

=0.630*0.418*0.559+0.418

=0.565

上述0.637，0.204和0.565是模型隐含的相關系數，與樣本資料計算的相關系數0.516，0.170和0.621存在細微的差異，說明兩個矩陣并非完美比對。模型拟合評價就是通過比較兩個矩陣(即樣本方差協方差矩陣與模型隐含的方差協方差矩陣)的差異來判斷理論模型與資料之間的比對程度即模型拟合資料的程度(即卡方和各種拟合指數，具體見基礎篇第5章)。如果樣本方差協方差矩陣與模型隐含的方差協方差矩陣完全一樣，将會得到完美的拟合結果，此時模型卡方為0，所有的模型拟合指數為最優值。

至于本例來說，模型隐含的相關系數與樣本的相關系數存在細微的差異，是以模型拟合并非完美(卡方=46.159,CFI=0.991, TLI=0.988)。

 表1 十個題目的樣本協方差矩陣

X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
X1	4.318
X2	1.443	1.812
X3	2.291	1.225	3.834
X4	1.174	0.775	0.964	1.555
X5	1.508	1.024	1.492	0.863	2.522
X6	1.252	0.326	0.748	0.486	0.425	3.312
X7	1.462	0.563	1.016	0.574	0.578	2.834	6.052
X8	1.412	0.564	1.173	0.591	0.737	2.754	3.204	5.607
X9	1.368	0.337	0.679	0.552	0.483	2.518	3.279	2.948	7.108
X10	0.881	0.301	0.383	0.257	0.432	1.470	1.846	1.731	2.889	3.045
SD	2.078	1.346	1.958	1.247	1.588	1.820	2.460	2.368	2.666	1.745

表2 十個題目的樣本相關系數矩陣

X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
X1	1
X2	0.516	1
X3	0.563	0.465	1
X4	0.453	0.462	0.395	1
X5	0.457	0.479	0.480	0.436	1
X6	0.331	0.133	0.210	0.214	0.147	1
X7	0.286	0.170	0.211	0.187	0.148	0.633	1
X8	0.287	0.177	0.253	0.200	0.196	0.639	0.550	1
X9	0.247	0.094	0.130	0.166	0.114	0.519	0.500	0.467	1
X10	0.243	0.128	0.112	0.118	0.156	0.463	0.430	0.419	0.621	1
SD	2.078	1.346	1.958	1.247	1.588	1.820	2.460	2.368	2.666	1.745