为什么导向矢量和噪声子空间正交？

前情提要

：在DOA估计的传统方法中，子空间类方法通常需要一个非常重要的性质——导向矢量与噪声子空间正交，书上一般都是直接说的结果，在这里证明一下。

证明

接收信号简写

源信号自协方差矩阵

接收信号自协方差矩阵

对R做特征分解

按大小特征值分成信号子空间和噪声子空间

默认噪声为白噪声有

对式(3)两边乘以Un有

对式(5)两边乘以Un有

由式(7)和(8)可得

易知导向矢量可逆，信源不相干时 Rs 也是可逆的，所以有

所以，导向矢量与噪声子空间正交。

PS：可以从式(10)前面的条件看出，必须得是信源不相干时 Rs 才可逆，才能导出MUSIC算法的核心，导向矢量与噪声子空间正交。然而信源相干时，Rs 就不可逆了，MUSIC算法会失效。那就需要通过平滑的方法对 R 处理后再求噪声子空间了。