没有计算的推理和基于推理的计算 逻辑与算法之五
近现代科学的创立和发展，按照爱因斯坦的说法，一个是古希腊人为科学准备的理论体系，一个是文艺复兴时期开创的实验方法，用系统实验来寻求自然现象之间的因果联系。
古希腊人所做的理论准备，体现在古希腊的两大演绎体系之中。从纯粹数学看，那就是欧几里得（约公元前330-前275年）几何学中的形式逻辑体系，或者称公理演绎体系。这个演绎体系在数学中的原创典籍，就是欧几里得的《几何原本》。
照片1几何原本
一个旧本，一个2019年新本
而从逻辑视角看，比欧几里得还早略二代的古希腊哲学家亚里士多德（公元前384-公元前322年），也建立了一个演绎推理体系，那就是亚里士多德的三段论体系，《工具论》是这个体系在逻辑学中的原创典籍。当然，那个时代还有个斯多葛学派，他们也研究推理，但他们却没有一个完整的推理系统。他们关于推理的思考，好像比三段论还要重要。只可惜这个学派没有留下什么典籍记录，且留待后文，再来讨论。
照片3工具论
照片4亚里士多德
照片5斯多葛学派简介
这两个体系的建立，似乎是在显露，那个时候的希腊文化，在追求雅致、超脱和神秘。它们好像把数学和逻辑，当作艺术、文化和游戏一样把玩、欣赏和赞叹，不太注重实际用场，因而就常常受到后人的攻击。例如，几何原本中有一个命题。
命题Ⅰ.20 在任何三角形中，任意两条边的和大于第三边。（《几何原本》2019年版，第21页）
命题一旦被证，它就成为定理。《几何原本》依据公设和公理，对这个命题给出了严密的逻辑证明，命题Ⅰ.20自然就是一个定理。但有人却认为，这定理是一个甚至笨驴都能够知道的常识，哪里需要什么逻辑证明。
“伊壁鸠鲁学派常常嘲笑这个定理，说甚至对驴来说它都是显然的，无须证明。他们说，这就是无知人的标志，显而易见的真理非要解释，却死心塌地相信那些深奥难懂的东西。”（《The Mathematical Universe》中译本第94页）
照片5《The Mathematical Universe》
亚里士多德的三段论体系，因为它曾经成为中世纪神学的教义支撑，在实用性方面受到的攻击更多。培根在他批评《工具论》而起名为《新工具》的著作中直言，三段论的逻辑不能帮助我们找出新科学。
然而，批评归批评，演绎体系自古希腊建立起来之后，一直都是数学发展的主流，用于世俗生活的计算，似乎在数学中没有什么生存发展的空间。的确，在亚里士多德的三段论当中，你几乎看不到计算的痕迹。因为三段论只涉及到词项、命题与推理规则，几乎就没有数字含蕴其中，哪里用得着去做什么数字计算。三段论是用来推理的，无关数字，仅利用概念间的关系来进行逻辑推导。而同期斯多葛学派所研究的东西，则是利用命题间的关系所进行的推导，也无关数字，自然也没有计算，只有推理。
计算只是纯粹的计算，而推理也只是纯粹的推理么？
如果不是当下的算法如日中天，大概对逻辑与数学的关系，我也许只会知道逻辑在近现代的数学化。逻辑与数字计算间的关系，恐怕还不会产生什么值得铭记的感觉。
好在还有一点幸运，还存有关注读本的习惯，感觉不经意之时，忽如一夜降临了。一本《信息简史》，让人知道信息技术的厉害。另一本《21世纪的21课》，又让人知道了算法的厉害。还有一本有关《计算进化史》的书，则略知了计算与推理的纠结。因为关注算法而看到的《极简算法史》的小书，又把计算，逻辑与计算机科学联系起来。而那本如神迹一般的古典《几何原本》，虽然多为公理、公设和定义，没有纯粹自然物体对象的实用运算，却有对于纯粹数字的一般化计算。
所有这些读本全加在一起，仿佛有一种上苍的力量在给你启示。你不是做了十多年的逻辑史么？这些现代的、古典的数学、信息和人文文献的滋养，似乎在激活你去回望既往。数年之前讲授过很多次逻辑史，好像也就一条纯粹推理的线：柏拉图-亚里士多德-莱布尼兹-布尔-皮尔斯-弗雷格-罗素。罗素之后的信息技术大发展时代，却好像完全忽略掉了。
飘然浏览这些新堆积在你身边，充满着人类智慧的文字图片，脑际不断闪过精妙、新奇和典雅的感叹。这些感叹交融聚集，好像在撞击你的心灵，汇合成了一股挡不住的思绪之流。那种仰慕神智神灵，高山仰止景行行止的向往，启动了你回看逻辑史的读书之旅。看来，无论学术之书怎么难读难解，也要认真地读读相关文献。用更宽广的视野，重新审视过去曾经有过的逻辑史观念了。
在三段论中找不到计算的痕迹，那么，同为演绎体系的欧几里得几何，是否也是只有推理没有计算呢？欧几里得的《几何原本》似乎给出了推理与计算的区别，又给出推理与计算的联系。这就是近代算法理论中的欧几里得算法，一个基于推理的计算法。这个出现在《几何原本》第七卷，命题Ⅶ1和命题Ⅶ2的内容，真是既有计算，然后又有推理（《几何原本》第215-217页）。
已经够长的了，应该再用一个篇幅来理解，何以是计算？又何以是推理？而所谓算法，大概是计算和推理的一个有机整合吧？2019/10/20