沒有計算的推理和基于推理的計算 邏輯與算法之五
近現代科學的創立和發展，按照愛因斯坦的說法，一個是古希臘人為科學準備的理論體系，一個是文藝複興時期開創的實驗方法，用系統實驗來尋求自然現象之間的因果聯系。
古希臘人所做的理論準備，展現在古希臘的兩大演繹體系之中。從純粹數學看，那就是歐幾裡得（約公元前330-前275年）幾何學中的形式邏輯體系，或者稱公理演繹體系。這個演繹體系在數學中的原創典籍，就是歐幾裡得的《幾何原本》。
照片1幾何原本
一個舊本，一個2019年新本
而從邏輯視角看，比歐幾裡得還早略二代的古希臘哲學家亞裡士多德（公元前384-公元前322年），也建立了一個演繹推理體系，那就是亞裡士多德的三段論體系，《工具論》是這個體系在邏輯學中的原創典籍。當然，那個時代還有個斯多葛學派，他們也研究推理，但他們卻沒有一個完整的推理系統。他們關于推理的思考，好像比三段論還要重要。隻可惜這個學派沒有留下什麼典籍記錄，且留待後文，再來讨論。
照片3工具論
照片4亞裡士多德
照片5斯多葛學派簡介
這兩個體系的建立，似乎是在顯露，那個時候的希臘文化，在追求雅緻、超脫和神秘。它們好像把數學和邏輯，當作藝術、文化和遊戲一樣把玩、欣賞和贊歎，不太注重實際用場，因而就常常受到後人的攻擊。例如，幾何原本中有一個命題。
命題Ⅰ.20 在任何三角形中，任意兩條邊的和大于第三邊。（《幾何原本》2019年版，第21頁）
命題一旦被證，它就成為定理。《幾何原本》依據公設和公理，對這個命題給出了嚴密的邏輯證明，命題Ⅰ.20自然就是一個定理。但有人卻認為，這定理是一個甚至笨驢都能夠知道的常識，哪裡需要什麼邏輯證明。
“伊壁鸠魯學派常常嘲笑這個定理，說甚至對驢來說它都是顯然的，無須證明。他們說，這就是無知人的标志，顯而易見的真理非要解釋，卻死心塌地相信那些深奧難懂的東西。”（《The Mathematical Universe》中譯本第94頁）
照片5《The Mathematical Universe》
亞裡士多德的三段論體系，因為它曾經成為中世紀神學的教義支撐，在實用性方面受到的攻擊更多。培根在他批評《工具論》而起名為《新工具》的著作中直言，三段論的邏輯不能幫助我們找出新科學。
然而，批評歸批評，演繹體系自古希臘建立起來之後，一直都是數學發展的主流，用于世俗生活的計算，似乎在數學中沒有什麼生存發展的空間。的确，在亞裡士多德的三段論當中，你幾乎看不到計算的痕迹。因為三段論隻涉及到詞項、命題與推理規則，幾乎就沒有數字含蘊其中，哪裡用得着去做什麼數字計算。三段論是用來推理的，無關數字，僅利用概念間的關系來進行邏輯推導。而同期斯多葛學派所研究的東西，則是利用命題間的關系所進行的推導，也無關數字，自然也沒有計算，隻有推理。
計算隻是純粹的計算，而推理也隻是純粹的推理麼？
如果不是當下的算法如日中天，大概對邏輯與數學的關系，我也許隻會知道邏輯在近現代的數學化。邏輯與數字計算間的關系，恐怕還不會産生什麼值得銘記的感覺。
好在還有一點幸運，還存有關注讀本的習慣，感覺不經意之時，忽如一夜降臨了。一本《資訊簡史》，讓人知道資訊技術的厲害。另一本《21世紀的21課》，又讓人知道了算法的厲害。還有一本有關《計算進化史》的書，則略知了計算與推理的糾結。因為關注算法而看到的《極簡算法史》的小書，又把計算，邏輯與計算機科學聯系起來。而那本如神迹一般的古典《幾何原本》，雖然多為公理、公設和定義，沒有純粹自然物體對象的實用運算，卻有對于純粹數字的一般化計算。
所有這些讀本全加在一起，仿佛有一種上蒼的力量在給你啟示。你不是做了十多年的邏輯史麼？這些現代的、古典的數學、資訊和人文文獻的滋養，似乎在激活你去回望既往。數年之前講授過很多次邏輯史，好像也就一條純粹推理的線：柏拉圖-亞裡士多德-萊布尼茲-布爾-皮爾斯-弗雷格-羅素。羅素之後的資訊技術大發展時代，卻好像完全忽略掉了。
飄然浏覽這些新堆積在你身邊，充滿着人類智慧的文字圖檔，腦際不斷閃過精妙、新奇和典雅的感歎。這些感歎交融聚集，好像在撞擊你的心靈，彙合成了一股擋不住的思緒之流。那種仰慕神智神靈，高山仰止景行行止的向往，啟動了你回看邏輯史的讀書之旅。看來，無論學術之書怎麼難讀難解，也要認真地讀讀相關文獻。用更寬廣的視野，重新審視過去曾經有過的邏輯史觀念了。
在三段論中找不到計算的痕迹，那麼，同為演繹體系的歐幾裡得幾何，是否也是隻有推理沒有計算呢？歐幾裡得的《幾何原本》似乎給出了推理與計算的差別，又給出推理與計算的聯系。這就是近代算法理論中的歐幾裡得算法，一個基于推理的計算法。這個出現在《幾何原本》第七卷，命題Ⅶ1和命題Ⅶ2的内容，真是既有計算，然後又有推理（《幾何原本》第215-217頁）。
已經夠長的了，應該再用一個篇幅來了解，何以是計算？又何以是推理？而所謂算法，大概是計算和推理的一個有機整合吧？2019/10/20