数学是所有基础学科的女王，数学的实力直接促进了科学技术的繁荣。昨日，蔡天心的新书《数学与艺术》（江苏人民出版社2021年6月出版）在第三章《天才的世纪》中发表，其中17世纪几乎所有领域的人才都与数学有关。今天分享的另一个话题，世界数学中心的迁移，也包含着国家实力与文化繁荣之间的黑暗界限。以历史为先导，除了人才的涌现，制度建设也很重要。21世纪，我国的数学研究取得了显著进展，这与从蒋立福、熊青到陈、华罗轩，再到哈佛大学朱成轩等几代数学家和教育家的努力密切相关。我祝愿中国早日成为世界数学中心，走上国家科技自力更生之路。
也献给所有园丁在数学教学岗位上，向所有园丁推广复合型人才的培养，全世界的人才都是从你们的后续诱惑中走出来的，不容忽视。祝大家节日快乐！
哈尔茨是德国中部的一座著名山峰，被易北河和维西河隔开，图中是哈茨山邮票
哈尔茨是德国中部的一座著名山峰，由易北河和维斯河隔开，布罗肯峰的最高峰海拔1142米，是德国北部的最高峰，仅次于南阿尔卑斯山。西南部的G？ttingen大学城无疑是最好的，它为德国造就了无数的人才和支柱。安徒生一见钟情地献身于哈茨山，海涅写了《哈茨山之旅》，歌德还写了《哈茨山东游》，他的杰作《浮士德》描绘了一年一度的哈茨山魔鬼狂欢节。
18世纪末，G？ttingen大学成为世界各地数学家心目中的"麦加"。
图林根州的艾森纳赫小镇位于哈茨山以南，是音乐家约翰·塞巴斯蒂安·巴赫的出生地，他被誉为"音乐之父"。在哈茨山以北，不伦瑞克在地理上与艾森纳赫对称，是"数学王子"高斯的出生地。一个被誉为"音乐家中的数学家"，另一个在数学发现和理论中具有音乐之美。
虽然它现在是萨克森州的一个地区，但哥廷根在历史上一直是汉诺威王国的一部分，汉诺威王国是仅次于奥地利，普鲁士和巴伐利亚的第四大德意志国家。17世纪末，汉诺威成为神圣罗马帝国的首选国家，其国王奥古斯特一世成为第九位也是最后一位有权选举罗马皇帝的皇帝。汉诺威还与北海有着长期的联系，在没有孩子的情况下，连续五位国王搬到伦敦，担任英格兰国王，包括乔治二世，他（受牛津和剑桥的启发）于1734年下令创建G？ttingen大学。这个系统被称为"欧洲文明的产物"。
G？ttingen大学成为高斯数学教授和天文台主任后，成为世界各地数学家心目中的"麦加"
起初，G？ttingen大学以国王和乔治奥古斯塔大学命名。成立四十年后，哥廷根学者聚集在一起，成为德国学术，科学和文化的中心。在高斯成为数学教授和天文台主任后，哥廷根成为世界各地数学家的"麦加"。马克斯·普朗克（Max Planck，1858-1947）是一位物理学家和量子力学之父，在他去世之前，他也教过G？ttingen很长一段时间。他在G？ttingen的科学界备受尊敬，并当选为威廉皇帝协会主席。战后，为了纪念普朗克，威廉皇帝协会更名为马克斯·普朗克科学促进会，中文简称为"地图学会"，相当于其他国家的国家科学院，下辖50多个研究所。
高斯两岁时发现父亲的账本不对，九岁时他回答了1到100秒的总和。
卡尔·弗里德里希·高斯（1777-1855）于1777年4月30日出生于下萨克森州不伦瑞克郊区。他的家庭世世代代从事农民工作，他的父亲是普通工人，石匠，鳏夫和花农。像牛顿一样，高斯家族从来都不是佼佼者。高斯的母亲，34岁已婚，是她丈夫的第二任妻子，一个女仆，没有受过教育。她甚至忘记了她唯一的儿子的生日，这是高斯在他之后计算出来的。
一个九岁的故事是众所周知的，当小学老师要求全班同学做一些事情让他们从1到100时，高斯几乎立即得到了正确的答案：5050
像牛顿一样，高斯有一个明智的叔叔，一个熟练的纺织工人，可以编织最好的锦缎。他首先意识到侄子的才华，高斯的母亲对儿子寄予厚望。当高斯两岁时，他发现父亲的叙述中有一个错误。一个从九岁起的故事就广为人知，小学老师为了让班上的孩子有事可做，让他们从1到100，高斯几乎立刻就得到了正确的答案：5050，但是没有验证过程，因为他在脑海中把头和尾的一对数组加在一起， 得到50对和101个数字。在他的晚年，高斯甚至声称他在学会说话之前就学会了计算，并说他问过成年人如何发音，他可以自己学习阅读。
高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵费迪南德的注意，他在高斯14岁时决定资助它。次年初，高斯去了卡罗琳学院（现在的不伦瑞克技术大学），三年后，18岁的高斯去了G-ttingen大学，在那里他开始了他的辉煌生活。在大学里，高斯发明了最小二乘法，这是一种简单的计算方法，可以快速找到未知数据，并最大限度地减少它们与实际值之间的误差平方和。高斯后来在大地测量中使用了这种方法，并帮助找到了第一颗普遍感兴趣的小行星，这项任务使高斯的受欢迎程度超越了学术界，成为公众人物。这项工作是高斯对观测误差理论感兴趣的开始，今天高斯正态分布及其钟形曲线是广泛使用的统计学的标志。
1796年是奇迹的一年：给出了对素定理的猜测，并给出了做17条边的方法
高斯对正多边形的欧几里得映射理论（仅使用圆形规则和标尺）做出了惊人的贡献，他给出了一种使正17边的方法，从而解决了2000多年前的数学悬念
1796年3月30日，当高斯19岁时，他对正多边形的欧几里得映射理论（仅使用圆形规范和标尺）做出了惊人的贡献，并发现了它与费马素数的秘密关系。特别是，他给出了一种制作正17面形状的方法，从而解决了2000多年的数学案例。仅仅九天后，高斯就发展出了同样的盈余理论，这是次级反定律的第一个证明，这个具有对称美的公式被高斯视为"算术的瑰宝"，使次级同源偿付能力判断的问题得到彻底解决。一个月后，高斯给出了后来的素数定理，直到100年后才被两位法国数学家独立证明，并被誉为"19世纪的数学成就"，就像费马定理的证明被视为"20世纪的数学成就"一样。五十年后，一位挪威数学家和一位匈牙利数学家各自对一流方法进行了新的证明，分别获得了菲尔兹奖和沃尔夫奖。
1796年是高斯奇迹的一年，从他发现绘制第17边的方法的那一天起，高斯就以极其简单的方式写日记。同年7月10日，他的日记中只有一行：
num=Δ+Δ+Δ Eureka！
这意味着每个正整数都可以表示为三个三角形数字的总和，这是17世纪法国数学家Ferma的猜测。形状的数量由古希腊数学家毕达哥拉斯定义和研究，三角形的数量是一个整数，可以排列成三角形，0，1，3，6，10，15，21，28...保龄球木瓶（10）和斯诺克目标球（21）排列成三角形。不难介绍，这个问题等价于8n加3的奇数可以表示为三个正整数的平方和。
与其他长期存在的问题一样，要证明这个看似简单的猜测并不容易。年轻的高斯做到了，尤里卡（发现）正是阿基米德在提出浴缸浮力定律时所说的话。
它被称为"数学王子"，出来时是纯绿色的，已经存在了50年
1801年，24岁的高斯出版了《算术研究》，法国数学家拉格朗日称其为"一流数学家"。
1801年，24岁的高斯出版了《算术研究》，由费迪南德公爵资助。法国数学家约瑟夫·兰朗日（Joseph Langrange，1736-1813）在巴黎读到这本书后，立即写了一封祝贺信，说："你的算术研究立即使你成为一流的数学家"。他的德国同胞利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823-1891）称赞他为"书籍之王"。次年，高斯被选为圣彼得堡科学院的外国院士，四年后，他被G？ttingen提升为天文台的教授和主任。在那个世纪末，德国数学史学家莫里茨·康托尔（Moritz Cantor，1829-1920）写道：
算术研究是数值理论的宪章。高斯发表他的作品一直很慢，这具有科学的优势，即他的印刷作品今天仍然像首次出版时一样正确和重要。他的出版物是《法典》，高于《人类法典》的其余部分......
像莫扎特一样，高斯年轻时的异想天开使完成一件事为时已晚，而另一件事又出现了。更有价值的是，高斯已经是新鲜和绿色的，在接下来的50年里，他保持了这个水平，为数学，物理学和天文学做出了非常重要的贡献。像艺术家一样，高斯希望他留下完美的艺术珍品，任何改变都会破坏内在的平衡。他喜欢说的一件事是："当一栋建筑完工时，脚手架应该被拆除。高斯在他的工作中非常合乎逻辑，他希望在每个领域建立普遍和一致的理论，以连接不同的定理。出于这个原因，高斯并不总是乐于公开发表他的研究结果。他的名言是："我宁愿少一点，也要成熟。
高斯最重要的数学发现之一是非欧洲几何学的创造，但他发表速度很慢，最后与后来的两位数学家分享荣誉———俄罗斯的罗巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶
结果，高斯失去了一些东西。例如，他最重要的数学发现之一是非欧洲几何学的创造，但他非常担心它会招致批评，以至于他迟迟没有发表它，最后与两位年轻的数学家分享了荣誉———俄罗斯的罗巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶。高斯的另一个几何成就是内在微分几何，没有及时发表，他后来与法国数学家Bone分享了这一荣誉。在他对表面地质外科医生的研究中，高斯证明了由测地线组成的三角形的着名定理，该定理表明三角形的内角并不总是等于π（180度）。这就是著名的Gosbone公式。中国数学家陈省体最重要的工作是在高维（偶数维）黎曼流中给出高斯波内公式的固有证明。
高斯生活在德国浪漫主义盛行的时代。高斯说："数学是科学的女王，算术（数论）是数学的女王。那个时代的人们开始称高斯为"数学王子"。有趣的是，高斯的几幅肖像画也非常英俊。"任何花一点时间研究数值理论的人，一定会感受到一种特别的激情和热情，"戈斯曾经说过。在他心目中，数学，尤其是纯数学，有着不可抗拒的美，就像文字、笔记、图像一样。這就是為什麼他放棄了他早期最喜歡的語言學，轉向數學。
与他的前任帕斯卡，笛卡尔，牛顿和莱布尼茨在晚年转向哲学或宗教研究不同，高斯在他的余生中并不需要它们，也许在他看来，拥有最纯粹，最本质的艺术———数学。特别是他自己的数学发现和理论简洁，抽象和深刻，具有音乐的美感。
哥廷根学派：迪利克利、黎曼、希尔伯特、接力棒建立20世纪数学学派
G'ttingen天文台大学，高斯和黎曼都曾担任站长（蔡天心）
高斯数有着非凡的记忆力和洞察力，在数学领域，他不仅是一位深刻的理论家，更是一位杰出的实践者。然而，高斯非常讨厌教书，以至于他只有几个学生。高斯死后，他的学生中没有人有足够的影响力来接替他。最后，彼得·狄利克雷（1805-1859）从柏林大学被聘用，早年由于高斯的冷漠而在巴黎学习。Dilley最着名的研究是证明算术数中存在无限的素数，为此他引入了Dilley特征，将素数与自然数分开。
著名的Diriclair L函数基于这个特征，它贯穿了数的解析理论和现在著名的朗兰兹程序。不幸的是，比高斯小28岁的迪利克莱尔在四年后接替了高斯，并与死于中风的妻子一起去了。这一次，轮到高斯接替数学教授黎曼，后者还担任了G？ttingen天文台的主任。
哥廷根数学研究所的黎曼，德国最伟大的数学家，仅次于高斯，也是有史以来最伟大的数学家之一，在几何，分析和数值理论领域具有广泛的影响力
伯恩哈德·里曼（Bernhard Rieman，1826-186 年）是德国仅次于高斯的最伟大的数学家，也是有史以来最伟大的数学家之一。黎曼的工作对几何学、分析和数值理论产生了广泛的影响，他对时空几何的独特大胆思考是天地的声音，对现代物理学的发展有着深远的影响，在很大程度上为爱因斯坦的广义相对论和方法提供了坚实的基础。
不幸的是，黎曼在40岁时死于意大利北部西拉斯加的一家水疗中心，原因是从小就营养不良导致体弱。由于黎曼没有指导任何学生。直到1895年，26年后，当希尔伯特成为G？ttingen的数学教授时，事情才好转，就像高斯100岁时一样。虽然希尔伯特的个人成就没有超过高斯或黎曼，但他的"数学最后的百事可乐"，加上他开放的个性和领导风格，以及他与他的大师（导师）费利克斯·克莱因的真诚合作，最终建立了20世纪最著名的数学流派———哥廷根学派。
20世纪以后，普林斯顿大学、纽约大学和加州伯克利成为西半球三大数学中心。
希尔伯特开放的个性和领导风格，以及他与大师们的真诚合作，促成了20世纪最著名的数学学派———哥廷根学派（G？ttingen的蔡天心）的成立。
大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943 年）于 1862 年出生于东普鲁士港口城市戈尼斯堡的郊区，现在是俄罗斯（也是最小的国家）的飞地，早已更名为加里宁格勒，被波兰、立陶宛和波罗的海所环绕。虽然戈尼斯堡最伟大的公民是哲学家康德（他一生都在这个偏远的小镇上度过），但他受到数学的束缚。当普莱格尔河接近大海时，它流经城市，河上的一个岛屿与河两岸的七座桥相连（它实际上是三岸，因为它是两条河流的交汇处），从而产生了一个著名的数学问题，假设一个人只能通过每座桥一次， 所有的桥都可以走回原来的地方吗？这个看似简单的数学问题并不容易，后来由来自另一个国家的数学家Ola解决了。奥拉的执着沟通者克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764 年）也是科内斯伯格本地人，爱因斯坦的大学数学老师赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909 年）后来在同一城市遇到了一个两岁的男孩希尔伯特。
从戈尼斯堡出来的最伟大的公民是哲学家康德（左）和欧拉;
1884年，希尔伯特在家乡盖恩斯堡大学获得博士学位，并在那里担任教授，九年后他被提升为教授。在大学期间，希尔伯特参加了许多城市之旅，包括莱比锡，柏林和巴黎，并在这些地方遇到了他的数学前辈和同行，如Pongale，Klein，Jordang，Emilt和Cronek，这为他随后在哥廷根招募人才和竖立数学旗帜奠定了良好的基础。1900年，希尔伯特应邀在巴黎举行的国际数学家会议上做了题为"数学问题"的特别演讲，列出了23个数学难题，涵盖了那个时代几乎所有的研究领域，从而对20世纪数学的发展产生了巨大影响。
在希尔伯特的众多杰出弟子中，我们不得不提到赫尔曼·外尔（1885-1955）和理查德·柯伦（1888-1972），他们相隔两年获得博士学位。Er学习了几何和物理学，在哲学方面也很成功，这三者都受到老师的影响。希尔伯特退休后，海尔回到母校接手，后来战争的阴云笼罩着欧洲，他前往美国加入新成立的普林斯顿高等研究院，该研究所帮助取代格廷根成为世界数学中心。作为导师的助理，他帮助处理了一些行政事务，后来去了纽约大学，在那里他被委托组建柯伦数学研究所，现在以他的名字命名。这两个地方，连同陈省厅（1911-2004）建立的伯克利数学研究所，是西半球的三大数学遗址。虽然陈虽然没有在G？ttingen学习，但他也在德国（汉堡大学）获得了博士学位，也是Er的朋友。
在希尔伯特的优秀弟子中，豪尔赫（左）和柯伦（右）分别创立了普林斯顿大学和纽约大学数学研究所，陈创立的伯克利数学研究所成为西半球的三大数学基地。
由于德国漫长的冬季和寒冷的天气，人们花更多的时间在家里，他们善于独立思考和抽象思维，在数学，音乐和哲学方面产生了许多杰出的人物。不仅如此，德国数学家和音乐家大多是哲学家或深思熟虑的。例如，在数学的基础上有三大哲学流派，除了逻辑主义是由英国数学家罗素创立的，直觉主义和形式主义是德国的参与，克罗内克和埃尔是直觉主义的先驱和骨干，希尔伯特提出了形式主义的平台。在柏林大学获得博士学位后，克罗内克花了八年时间在家乡经营家族企业，后来又去了母校，在那里他拒绝接替黎曼。克罗内克有一句名言："上帝创造了整个数字，其余的都是人造的。
李念选自第4章 数学与音乐
作者介绍
蔡天心（左二）出席文汇第100届"科学精神对话人文精神"演讲厅
蔡天心，浙江省台州人，大专以上学历，山东大学理学博士，浙江大学数学学院教授，博士生导师，特学者。他提出了素数和乘数方程的概念，他在新中国森林方面的工作被英国数学家、菲尔兹奖得主艾伦·贝克（Alan Baker）誉为"真正的原创性贡献"。在学习期间，缪斯偶尔的赞助催生了蔡天心的诗歌创作，并出版了30多部文学和学术著作，20多部外文版。近期作品有《小回忆》、《古典数论现代导论》、《欧洲人文地图》、《美国人文地图》、《地铁诗篇》、《高铁诗篇》等，先后获得国家科学技术奖、国家教学成果奖，以及贝鲁特纳吉纳曼诗歌奖和达卡卡塔克诗歌奖等。
文本结尾链接
笛卡尔，帕斯卡，斯宾诺莎，17世纪数学天才
吴文军：中国数学最伟大的发明，就是商代有小数点，客人看了58本新书
作者：蔡天心
编辑：钱一轩