多层感知机的基本知识
我们将以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，介绍多层神经网络的概念。
隐藏层
下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。
表达公式
设小批量样本
X
∈
R
n
×
d
\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}
X∈Rn×d，
n
n
n为批量大小，
d
d
d为1输入个数。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为
h
h
h。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为
H
\boldsymbol{H}
H，有
h
\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}
H∈Rn×h。设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为
W
h
\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}
Wh∈Rd×h和
b
1
\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}
bh∈R1×h，输出层的权重和偏差参数分别为
o
q
\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}
Wo∈Rh×q和
\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}
bo∈R1×q。
下面是单隐藏层的多层感知机的设计。其输出
O
\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}
O∈Rn×q的计算为
H
=
X
W
h
+
b
,
O
H
o
\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}
HO=XWh+bh,=HWo+bo,
将以上两个式子联立起来，得：
O
=
(
X
W
+
b
)
o
.
\boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o.
O=(XWh+bh)Wo+bo=XWhWo+bhWo+bo.
从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为
\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o
WhWo，偏差参数为
+
\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o
bhWo+bo。所以即便再添加更多的隐藏层，依然只与仅含输出层的单层神经网络等价。
激活函数
以上问题在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。所以需要一个非线性函数来进行变换，打破这种仿射变换，然后输出再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。
下面我们介绍几个常用的激活函数：
ReLU函数
ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个简单的非线性变换。给定元素
x
x
x，该函数定义为
ReLU
x
max
,
\text{ReLU}(x) = \max(x, 0).
ReLU(x)=max(x,0).
由上述可得，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。下面我们把ReLU函数画出来。先定义一个绘图函数xyplot。
注：d2lzh1981为一个包名，先封装好然后可以直接调用；具体代码在下面Github页面上：https://github.com/d2l-ai/d2l-zh/tree/master/d2lzh
%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys
sys.path.append("/home/input") #文件夹路径
import d2lzh1981 as d2l
def xyplot(x_vals, y_vals, name):
# d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
plt.xlabel('x')
plt.ylabel(name + '(x)')
x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, requires_grad=True)
y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')
Sigmoid函数
sigmoid函数将元素的值变换到0和1之间：
sigmoid
+
exp
(
−
x
)
\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.
sigmoid(x)=1+exp(−x)1.
y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')
对sigmoid函数求导，其导数为：
sigmoid
′
(
−
x
)
\text{sigmoid}'(x) = \text{sigmoid}(x)\left(1-\text{sigmoid}(x)\right).
sigmoid′(x)=sigmoid(x)(1−sigmoid(x)).
tanh函数
tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：
tanh
2
\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.
tanh(x)=1+exp(−2x)1−exp(−2x).
当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。tanh函数在坐标系的原点上对称。
y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')
tanh的导数为：
tanh
−
\text{tanh}'(x) = 1 - \text{tanh}^2(x).
tanh′(x)=1−tanh2(x).
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')
激活函数的选择
多层感知机
多层感知机从零开始的实现
import torch
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/input") #文件夹路径
import d2lzh1981 as d2l
#获取数据集
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/input/FashionMNIST2065')
#自定义模型参数
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_hiddens)), dtype=torch.float)
b1 = torch.zeros(num_hiddens, dtype=torch.float)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_hiddens, num_outputs)), dtype=torch.float)
b2 = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)
params = [W1, b1, W2, b2]
for param in params:
param.requires_grad_(requires_grad=True)
#定义激活函数
def relu(X):
return torch.max(input=X, other=torch.tensor(0.0))
#定义网络
def net(X):
X = X.view((-1, num_inputs))
H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
return torch.matmul(H, W2) + b2
#定义损失函数
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
#训练
num_epochs, lr = 5, 100.0
def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size,
params=None, lr=None, optimizer=None):
for epoch in range(num_epochs):
train_l_sum, train_acc_sum, n = 0.0, 0.0, 0
for X, y in train_iter:
y_hat = net(X)
l = loss(y_hat, y).sum()
# 梯度清零
if optimizer is not None:
optimizer.zero_grad()
elif params is not None and params[0].grad is not None:
for param in params:
param.grad.data.zero_()
l.backward()
if optimizer is None:
d2l.sgd(params, lr, batch_size)
else:
optimizer.step() # “softmax回归的简洁实现”一节将用到
train_l_sum += l.item()
train_acc_sum += (y_hat.argmax(dim=1) == y).sum().item()
n += y.shape[0]
test_acc = evaluate_accuracy(test_iter, net)
print('epoch %d, loss %.4f, train acc %.3f, test acc %.3f'
% (epoch + 1, train_l_sum / n, train_acc_sum / n, test_acc))
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, params, lr)
多层感知机pytorch简洁实现
import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/input")
import d2lzh1981 as d2l
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
net = nn.Sequential(
d2l.FlattenLayer(),
nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
nn.ReLU(),
nn.Linear(num_hiddens, num_outputs),
)
for params in net.parameters():
init.normal_(params, mean=0, std=0.01)
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
net = nn.Sequential(
d2l.FlattenLayer(),
nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
nn.ReLU(),
nn.Linear(num_hiddens, num_outputs),
)
for params in net.parameters():
init.normal_(params, mean=0, std=0.01)