测度(Measure)

测度概述

　　数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。

　　测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现的。

测度的定义

　　形式上说，一个测度

（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设

是集合

上的一个σ代数，

在上

定义，于扩充区间

中取值，并且满足以下性质：

• 空集的测度为零：

。

• 可数可加性，或称σ可加性：若

  

  为

  

  中可数个两两不交的集合的序列，则所有

  

  的并集的测度，等于每个

  

  的测度之总和：

　　这样的三元组

称为一个测度空间，而

中的元素称为这个空间中的可测集。

测度的性质

　　下面的一些性质可从测度的定义导出：

单调性

　　测度

的单调性：

　　若

和

为可测集，而且

，则 

可数个可测集的并集的测度

　　若 

为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的

，

⊆

，则集合

的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

　　以及如下极限：

可数个可测集的交集的测度

为可测集，并且对于所有的

，则

的交集是可测的。进一步说，如果至少一个

的测度有限，则有极限：

　　如若不假设至少一个

的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个

，令

这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

σ有限测度

如果

是一个有限实数（而不是

），则测度空间

称为有限测度空间。如果

可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。称测度空间中的一个集合

具有σ有限测度，如果

可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。

作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k 取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为

。这样的测度空间就不是σ有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

完备性

一个可测集

称为零测集，如果

。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑

的所有这样的子集

，它与某个可测集

仅差一个可去集，也就是说

与

的对称差包含于一个零测集中。由这些子集

生成的σ代数，并定义

的值就等于

例子

下列是一些测度的例子（重要性与顺序无关）。

• 计数测度　定义为

  

  的‘元素个数’。
• 一维勒贝格测度 是定义在

  

  的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足

  

  的唯一测度。
• Circular angle 测度 是旋转不变的。
• 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
• 恆零测度 定义为

  

  ，对任意的

  

• 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。
• 其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

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