測度(Measure)

測度概述

　　數學上，測度(Measure)是一個函數，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。

　　測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數、測度、可測函數和積分，其重要性在機率論和統計學中有所展現的。

測度的定義

　　形式上說，一個測度

（詳細的說法是可列可加的正測度）是個函數。設

是集合

上的一個σ代數，

在上

定義，于擴充區間

中取值，并且滿足以下性質：

• 空集的測度為零：

。

• 可數可加性，或稱σ可加性：若

  

  為

  

  中可數個兩兩不交的集合的序列，則所有

  

  的并集的測度，等于每個

  

  的測度之總和：

　　這樣的三元組

稱為一個測度空間，而

中的元素稱為這個空間中的可測集。

測度的性質

　　下面的一些性質可從測度的定義導出：

單調性

　　測度

的單調性：

　　若

和

為可測集，而且

，則 

可數個可測集的并集的測度

　　若 

為可測集（不必是兩兩不交的），并且對于所有的

，

⊆

，則集合

的并集是可測的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

　　以及如下極限：

可數個可測集的交集的測度

為可測集，并且對于所有的

，則

的交集是可測的。進一步說，如果至少一個

的測度有限，則有極限：

　　如若不假設至少一個

的測度有限，則上述性質一般不成立。例如對于每一個

，令

這裡，全部集合都具有無限測度，但它們的交集是空集。

σ有限測度

如果

是一個有限實數（而不是

），則測度空間

稱為有限測度空間。如果

可以表示為可數個可測集的并集，而且這些可測集的測度均有限，則該測度空間稱為σ有限測度空間。稱測度空間中的一個集合

具有σ有限測度，如果

可以表示為可數個可測集的并集，而且這些可測集的測度均有限。

作為例子，實數集賦以标準勒貝格測度是σ有限的，但不是有限的。為說明之，隻要考慮閉區間族[k, k+1]，k 取遍所有的整數；這樣的區間共有可數多個，每一個的測度為1，而且并起來就是整個實數集。作為另一個例子，取實數集上的計數測度，即對實數集的每個有限子集，都把元素個數作為它的測度，至于無限子集的測度則令為

。這樣的測度空間就不是σ有限的，因為任何有限測度集隻含有有限個點，進而，覆寫整個實數軸需要不可數個有限測度集。σ有限的測度空間有些很好的性質；從這點上說，σ有限性可以類比于拓撲空間的可分性。

完備性

一個可測集

稱為零測集，如果

。零測集的子集稱為可去集，它未必是可測的，但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測，則稱該測度為完備測度。

一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度：考慮

的所有這樣的子集

，它與某個可測集

僅差一個可去集，也就是說

與

的對稱差包含于一個零測集中。由這些子集

生成的σ代數，并定義

的值就等于

例子

下列是一些測度的例子（重要性與順序無關）。

• 計數測度　定義為

  

  的‘元素個數’。
• 一維勒貝格測度 是定義在

  

  的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足

  

  的唯一測度。
• Circular angle 測度 是旋轉不變的。
• 局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。
• 恆零測度 定義為

  

  ，對任意的

  

• 每一個機率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（于是其值全部落到機關區間[0,1]中）。這就是所謂機率測度。
• 其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、周遊測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。

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