Wallis公式(点火公式)

W

a

l

i

s

Wallis

Wallis公式(点火公式)：

I

n

=

∫

π

2

(

s

i

n

x

)

d

=

∫

π

(

c

o

s

n

x

)

d

=

{

(

n

−

1

)

!

×

π

,

n

为

正

偶

数

大

于

的

奇

I_n=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx\\=\begin{cases}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\times\dfrac{\pi}{2},n为正偶数\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\times1\ \ ,n为大于1的奇数\end{cases}

In​=∫02π​​(sinnx)dx=∫02π​​(cosnx)dx=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​n!!(n−1)!!​×2π​,n为正偶数n!!(n−1)!!​×1  ,n为大于1的奇数​

特别地：

n

时

→

n=1时\rightarrow \large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx=\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(cos^nx)dx=1

n=1时→∫02π​​(sinnx)dx=∫02π​​(cosnx)dx=1

推广：

π

s

i

\large\int_{0}^\pi(sin^nx)dx=2\large\int_{0}^\frac{\pi}{2}(sin^nx)dx

∫0π​(sinnx)dx=2∫02π​​(sinnx)dx