【小结】概率与期望

概率生成函数

如果\(X\)是\(\Bbb{N}\)上的离散随机变量，满足\(P(X=i)=f_i\)，则其概率生成函数为

\[F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_ix^i=\sum_{i=0}^{\infty}P(X=i)x^i. \]

概率生成函数有如下性质

\[F(1)=1,\\ E(X)=\sum_{i=0}^{\infty}iP(x=i)=F'(1),\\ E(X^{\underline k})=F^{(k)}(1),\\ \begin{align} Var(X)=E(X^2)-E^2(X)&=\sum_{i=0}^{\infty}P(X=i)i(i-1)+\sum_{i=0}^{\infty}P(X=i)i-F'(1)^2\\ &=F''(1)+F'(1)-F'(1)^2. \end{align} \]

使用概率生成函数求解期望问题通常要引入两个概率生成函数\(F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_ix^i\)和\(G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}g_ix^i\)，其中，\(f_i=P(X=i)\)为第\(i\)步恰好停止的概率，\(g_i=P(X>i)\)为第\(i\)步还没有停止的概率。则\(F(x)\)与\(G(x)\)之间有关系式

\[xG(x)+1=F(x)+G(x) \]