【小結】機率與期望

機率生成函數

如果\(X\)是\(\Bbb{N}\)上的離散随機變量，滿足\(P(X=i)=f_i\)，則其機率生成函數為

\[F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_ix^i=\sum_{i=0}^{\infty}P(X=i)x^i. \]

機率生成函數有如下性質

\[F(1)=1,\\ E(X)=\sum_{i=0}^{\infty}iP(x=i)=F'(1),\\ E(X^{\underline k})=F^{(k)}(1),\\ \begin{align} Var(X)=E(X^2)-E^2(X)&=\sum_{i=0}^{\infty}P(X=i)i(i-1)+\sum_{i=0}^{\infty}P(X=i)i-F'(1)^2\\ &=F''(1)+F'(1)-F'(1)^2. \end{align} \]

使用機率生成函數求解期望問題通常要引入兩個機率生成函數\(F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f_ix^i\)和\(G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}g_ix^i\)，其中，\(f_i=P(X=i)\)為第\(i\)步恰好停止的機率，\(g_i=P(X>i)\)為第\(i\)步還沒有停止的機率。則\(F(x)\)與\(G(x)\)之間有關系式

\[xG(x)+1=F(x)+G(x) \]