古希腊数学(ancient Greek mathematics)数学史专门术语。古希腊的地理范围,指希腊半岛、爱琴海群岛和小亚细亚西岸一带古希腊人在这里定居之后,创造了自己的文明和文化.这是人类历史上最宏伟的文明之一它对现代西方文化的发展影响极大.
希腊文明大约可以追溯到公元前2800年，一直延续到公元600年。在古希腊,始终没有形成一个统一的国家，长时期内,它都是由许多大小奴隶制城邦组成公元前6世纪以后,古希腊的生产力有较大的发展，形成了农业和手工业的分工。手工业的发展促进了各城邦之间以及东西方之间的商业和贸易的繁荣.许多城邦的新兴的奴隶主所建立的奴隶主民主政治，也促进了工商业的发展。随着经济和政治的进步,形成了丰富多彩的希腊古典文化.自然科学也得到相应的发展.在与埃及和巴比伦人贸易往来的过程中,希腊人学习到一些数学知识，在此基础上他们创造出光辉灿烂的数学.
古希腊数学，一般指公元前600年至公元600年希腊人所创立的数学.古希腊数学,大体可分为两个阶段:一般是从公元前600年至公元前300年，称为古典时期的希腊数学;另一段是从公元前300年至公元600年,称为亚历山大时期的希腊数学.
用图一证明托勒密定理
古典时期的希腊数学先后在几个中心地点发展起来,每个地点都有一批学者在一两位杰出人物的领导下开展活动，这类组织称为学派.小亚细亚伊奥尼亚地区的米利都城,是希腊哲学和科学的诞生地，在这里产生了古典时期的第一个学派--伊奥尼亚学派。该学派的代表人物是泰勒斯(Thales,(M))。
用上图的图二推导出正弦的差角公式
公元前4世纪,亚历山大帝国被其军事领袖瓜分为三个帝国,它们仍联合在古希腊文化的约束之下,史称希腊化国家.在三个帝国中,位于埃及的托勒密王朝最为强大。托勒密(Ptolemy)王在亚历山大城建造了当时世界上最大的博物馆和图书馆.从此以后亚历山大城成为希腊文化活动的中心，希腊数学开始进入亚历山大里亚时期。这个时期的特点，是数学逐渐脱离哲学和天文学,成为独立的学科几何学开始建立自己的理论体系,从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。希腊数学在公元前4世纪到古希腊灭亡(公元前146年)期间达到它的全盛时期.在亚历山大城,除了举世闻名的博物馆、图书馆外,还设有天文台、植物园等机构,各地学者云集在此进行科学研究。公元前3世纪，在亚历山大城出现了一批优秀的数学家,最杰出的代表是欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯(Apollonius,(P)).
推导正弦的和角公式和倍角公式
欧几里得总结了公元前7世纪以来古希腊数学的成就,用公理方法对几何学进行了系统整理,写成13卷《几何原本》其中包括平面几何学、立体几何学、比例理论、初等数论、可公度与不可公度量的概念、穷竭法等。《几何原本》是一部划时代的伟大著作,它的历史意义在于它树立了用公理法建立演绎数学体系的最早典范,对以后数学的发展产生了极深远的影响.阿基米德是古代最伟大的数学家、力学家和机械师,后人对他的评价极高,常把他和牛顿(Newton,I)高斯(GaussCF)并列为有史以来三位贡献最大的数学家.他在数学上的最大功绩之一是建立抛物弓形等图形的精密求积法.
推导余弦的和角公式和倍角公式
希腊文化时代随着古希腊被罗马帝国吞并而告终.从纪元开始,希腊数学的活动能力逐渐衰退，罗马君王并不像托勒密王那样支持数学.因此,在这个时期产生了与古典时期性质全然不同的数学:几何学专攻那些与计算长度、面积和体积有用的结果，由于这些工作,唤起了算术和代数的新生.天文计算的精密化又引起三角术的发展。这一时期著名的学者有海伦(Heron，(A))，托勒密(Ptolemy)，帕普斯(Pappus,(A))，丢番图(Diophantus)，尼科马霍斯(Nicomachus,(G))等。海伦在他的代表作《度量论》(Metrica)中给出了计算各种面积和体积的精确的或近似的法则,其中最著名的是依据三角形三边求三角形面积的公式——海伦公式。海伦把严密的希腊几何学风格与巴比伦、埃及的近似方法溶为一体，为实际应用提供了方便。
推导余弦的差角公式
托勒密主要是一位天文学家,在天文观测和计算的过程中,创立了三角术.在他的重要著作《至大论》(又名《天文学大成》)中采用60进制,把圆周分为360°,给出了从0°到180°间隔每半度的弦表，证明了著名的托勒密定理等.他所建立的较为系统的三角术是西方三角学的一个重要来源.
帕普斯以评注托勒密《天文学大成》和欧几里得《几何原本》而著称,后世数学中的许多材料都是从这些评著中得到的.他编辑了著名的《数学汇编》其中介绍古典时期以来最重要的数学著作.
推导正弦的半角公式
丢番图的重要代表作《算术》是一部完全脱离几何形式的代数著作,它显示了作者在不定分析方面的高超技巧。丢番图还创立了一套缩写符号,这在古代是绝无仅有的。《算术》一书对后世代数学和数论的发展产生了深远的影响，其中许多问题已成为历代许多数学家的创造源泉。
推导半角公式
今天，我们的推导过程请看上图，与古人的方法相比，更简单。
托勒密编造弦表1
紧接下图：
托勒密编造弦表2
有人会有疑问，托勒密知道正弦定理吗？答案是肯定的。
正弦定理
托勒密付出了大量的艰苦劳动，编造出了一张比较精密的正弦表。下面随手举个例子，让大家体会一下。
请看下图：
复杂的计算
用微软数学解方程。把上面的方程化简一下，用微软数学扫描，完成输入。
微软数学的界面
点击右下角的按键，求解方程。
结果如下图所示。
古人没有计算器，更没有电脑，过程的艰辛肉眼可见，可想而知。
托勒密之后，印度数学家和阿拉伯数学家继续推动三角学的发展。到了18世纪，欧拉开创了三角学的现代形式。
今天，我们用计算器或智能手机或者电脑来计算三角函数。支撑电脑的计算原理正是大名鼎鼎的泰勒级数。
下图是一张简化版的正弦表，使用方便。
正弦表
最后再八卦一下。当年阿基米德计算圆周率时，通过正九十六边形得到π≈22/7，托勒密的《至大论》使用的圆周率是通过正720边形得到π≈377/120。（这个分数相当于3.1416，阿波罗尼奥斯可能更早就给出了）
对这两个分数进行“非法操作”，分母减分母，分子减分子，就是祖冲之通过正24576边形得到的密率：
π≈355/113
托勒密付出艰苦劳动撰写的《至大论》，最终成为不朽的经典著作，被誉为“天文学家的圣经”。他在论述球面三角的第一卷中编造成的弦表，一千多年来成为天文学家不可缺少的重要工具。
托勒密撰写的八卷本的《地理学》（Geography）也成为“地理学家的圣经”。书中引入了经纬体系，描述了地图投影的方法，绘制的世界地图长期以来都是后人绘图的蓝本。遗憾的是，关于地球的周长，托勒密没有采纳埃拉托斯塞尼的正确数据：252000斯塔迪，采用了180000斯塔迪这个错误数据。
这个错误让后来的航海家们（包括哥伦布）误认为，从欧洲向西航行到印度并不远。
假如哥伦布知道托勒密错得有多离谱，他可能就不会启航了。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。