abstract. opencascade linear extrusion surface is a generalized cylinder. such a surface is obtained by sweeping a curve (called the “extruded curve” or “basis”) in a given direction (referred to as the direction of extrusion and defined by a unit vector). the u parameter is along the extruded curve. the v parameter is along the direction of extrusion. the form of a surface of linear extrusion is generally a ruled surface. it can be a cylindrical surface, or a planar surface. key words. openc
abstract. opencascade linear extrusion surface is a generalized cylinder. such a surface is obtained by sweeping a curve (called the “extruded curve” or “basis”) in a given direction (referred to as the direction of extrusion and defined by a unit vector). the u parameter is along the extruded curve. the v parameter is along the direction of extrusion. the form of a surface of linear extrusion is generally a ruled surface. it can be a cylindrical surface, or a planar surface.
key words. opencascade, extrusion surface, sweeping
1. introduction
一般柱面（the general cylinder）可以由一段或整個圓弧沿一個方向偏移一定的距離得到。如下圖所示：
figure 1.1 extrusion shapes
當将頂點拉伸時，會生成一條邊；當将邊拉伸時，會生成面；當将wire拉伸時，會生成shell，當将面拉伸時，會生成體。當将曲線沿一個方向拉伸時，會形成一個曲面，如果此方向為直線，則會生成一般柱面。如果此方向是曲線時，會生成如下圖所示曲面：
figure 1.2 swept surface/ loft surface
本文主要介紹将曲線沿直線方向拉伸的算法，即一般柱面生成算法。并将生成的曲面在openscenegraph中進行顯示。
2.cylinder surface definition
設 w是一個機關向量，c(u)是定義在節點矢量u上，權值為wi的p次nurbs曲線。我們要得到一般柱面s(u,v)的表達式，s(u,v)是通過将 c(u)沿方向w平行掃描（sweep）距離d得到的。記掃描方向的參數為v, 0<v<1，顯然，s(u,v)必須滿足以下兩個條件：
v 對于固定的u0, s(u0, v)為由c(u0)到c(u0)+dw的直線段；
v 對于固定的v0：
所要求的柱面的表達式為：
s(u,v)定義在節點矢量u和v上，這裡v＝{0，0，1，1}，u為c(u)的節點矢量。控制頂點由pi,0=pi和pi,1=pi+dw給出，權值wi,0=wi,1=wi。如下圖所示為一般柱面：
figure 2.1 a general cylinder obtained by translating c(u) a distance d along w.
其中opencascade中一般柱面的表達式如下所示：
其取值範圍的代碼如下所示：
由上代碼可知，參數在v方向上是趨于無窮的；在u方向上參數的範圍為曲線的範圍。計算柱面上點的方法代碼如下所示：
即将柱面上點先按v方向來計算，再按u方向來計算，最後将兩個方向的值相加即得到柱面上的點。
由上述代碼可知，opencascade中一般柱面沒有使用nurbs曲面來表示。根據這個方法，可以将任意曲線沿給定的方向來得到一個柱面，這個曲線可以是直線、圓弧、圓、橢圓等。關于柱面上更多算法，如求微分等，可以參考源程式。
3.display the surface
還是在openscenegraph中來對一般柱面進行可視化，來驗證結果。因為openscenegraph的簡單易用，顯示曲面的程式代碼如下所示：
上述顯示方法隻是顯示線框的最簡單的算法，隻為驗證一般柱面結果，不是高效算法。顯示結果如下圖所示：
figure 3.1 general cylinder for: circle, arc, line
如上圖所示分别為對圓、圓弧和直線進行拉伸得到的一般柱面。根據這個原理可以将任意曲線沿給定方向進行拉伸得到一個柱面。
4.conclusion
通 過對opencascade中一般柱面的類中代碼進行分析可知，opencascade的這個線性拉伸柱面 geom_surfaceoflinearextrusion是根據一般柱面的定義實作的，并不是使用nurbs曲面來表示的。當需要用nurbs曲面來 表示一般柱面時，需要注意控制頂點及權值的計算取值。
5. references
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