本節書摘來自華章出版社《數值分析（原書第2版）》一 書中的第0章，第0.2節，作者：（美）timothy sauer，更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視。
為了準備下一節中對于計算機算術的詳細研究，我們需要了解二進制數字系統.十進制數字中使用的基數10被替換為2，用于在計算機中儲存數字并簡化計算機中諸如乘法和加法等計算.整個過程颠倒過來，就可以得到輸出的十進制的結果.在本節中，我們讨論二進制和十進制數字轉化的方式.
二進制數字可以表示為：…b2b1b0.b-1b-2…5其中每個二進制數字，或者位，要麼是0要麼是1.基為10的數字等價于…b222+b121+b020+b-12-1+b-22-2…例如，十進制數字4以2為基可以表示為（100.）2，3/4可以表示為(0.11)2.
0.2.1 将十進制轉化為二進制
十進制數字53記作(53)10，用于強調其使用10為基.将一個數轉化為二進制，最簡單的方式是将數字的整數部分和小數部分分别對待.十進制數字(53.7)10=(53)10+(0.7)10，我們将整數部分和小數部分分别轉化為二進制，再把結果組合起來.
整數部分.在将十進制數轉化為二進制數的過程中，将整數連續被2除保留餘數.餘數可能是0或者1，從小數點開始進行記錄（或者更準确地稱作基數（radix））并向左移動.對于十進制數字(53)10，有如下計算53÷2=26 餘1
26÷2=13 餘0
13÷2=6 餘1
6÷2=3 餘0
3÷2=1 餘1
1÷2=0 餘1因而，十進制數可以轉化為二進制數字110101，記做(53)10=(110101.)2.可以檢查一下結果110101=25+24+22+20=32+16+4+1=53.
小數部分.将前面的計算過程反過來就可以将十進制小數(0.7)10轉化為二進制.将小數部分不斷乘2并記錄整數部分，從小數點開始并向右移動.0.7×2=0.4+1
0.4×2=0.8+0
0.8×2=0.6+1
0.6×2=0.2+1
0.2×2=0.4+0
注意到4步之後，整個過程出現重複，并且會以完全相同的形式無窮盡地重複下去.因而(0.7)10=(0.1011001100110…)2=(0.10110)2其中上橫線标記用于表示無窮重複的位數.把兩部分放在一起，我們得到(53.7)10=(110101.10110)260.2.2 将二進制轉化為十進制
把二進制轉化為十進制，最好仍将整數部分和小數部分分别計算.
整數部分.如同前面我們可以簡單地将2的幂疊加得到對應的十進制數.二進制數(10101)2可以簡單計算為1·24+0·23+1·22+0·21+1·20=(21)10 小數部分.如果小數部分有限（有限的以2為基的展開），則以相同方式進行.例如(0.1011)2=12+18+116=111610當小數部分不是以2為基的有限展開時，問題變得複雜.将無窮重複的二進制小數轉化為十進制有不同的方法.一種簡單的方法是利用2乘的平移性質.
例如，将x=(0.1011)2轉化為十進制.把x和24相乘，意味着在二進制中向左平移4位.然後減去原始的x:24x=1011.1011
x=0000.1011相減得到(24-1)x=(1011)2=(11)10然後求解x，找出十進制數,得到x=(0.1011)2=11/15.
另外一個例子，假設分數部分沒立即重複，例如x=0.10101.和22乘平移到y=22x=10.101.y的分數部分，記做z=0.101，如前面所述進行計算:23z=101.101
z=000.101因而，7z=5，y=2+5/7，x=2-2y=19/28為十進制數.為了檢查結果，将十進制數19/28轉化為二進制數，并和初始的x進行比較.
二進制數是計算機計算的基石，但是二進制數字很長并不利于人們了解.有時利用基16可以更加容易表示數字.十六進制數用16個數字0，1，2，…，9，a，b，c，d，e，f表示.每個十六進制數字可以用4位來表示.因而(1)16=(0001)2,(8)16=(1000)2,和(f)16=(1111)2=(15)10.在下一節中，将會描述使用matlab的format hex指令表達機器數.
0.2節習題
1.計算十進制整數的二進制表達.(a) 64 (b) 17 (c) 79 (d) 227
2.計算十進制整數的二進制表達.(a) 1/8 (b) 7/8 (c) 35/16 (d) 31/64
3.将下面十進制數轉化為二進制.用上橫線表示無窮的二進制小數位.
(a) 10.5 (b) 1/3 (c) 5/7 (d) 12.8 (e) 55.4 (f) 0.1
4.将下面十進制數轉化為二進制.
(a) 11.25 (b) 2/3 (c) 3/5 7(d) 3.2 (e) 30.6 (f) 99.9
5.找到π的前15位二進制表達.
6.找到e的前15位二進制表達.
7.将下面二進制數轉化為十進制:
(a) 1010101 (b) 1011.101 (c) 10111.01(d) 110.10(e) 10.110(f) 110.1101(g) 10.0101101(h) 111.1
8.将下面二進制數轉化為十進制:
(a) 11011 (b) 110111.001 (c) 111.001(d) 1010.01(e) 10111.10101(f) 1111.010001