較長的描述，好像跟我自己寫的差不多......不過終究是大神級别，講的就是透徹
1. 概述
AVL樹是最早提出的自平衡二叉樹，在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差别為一，是以它也被稱為高度平衡樹。AVL樹得名于它的發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL樹種查找、插入和删除在平均和最壞情況下都是O（log n），增加和删除可能需要通過一次或多次樹旋轉來重新平衡這個樹。
2. 基本術語
有四種種情況可能導緻二叉查找樹不平衡，分别為：
（1）LL：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的左子樹（Left），導緻根節點的平衡因子由1變為2
（2）RR：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的右子樹（Right），導緻根節點的平衡因子由-1變為-2
（3）LR：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的右子樹（Right），導緻根節點的平衡因子由1變為2
（4）RL：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的左子樹（Left），導緻根節點的平衡因子由-1變為-2
針對四種種情況可能導緻的不平衡，可以通過旋轉使之變平衡。有兩種基本的旋轉：
（1）左旋轉：将根節點旋轉到（根節點的）右孩子的左孩子位置
（2）右旋轉：将根節點旋轉到（根節點的）左孩子的右孩子位置
3. AVL樹的旋轉操作
AVL樹的基本操作是旋轉，有四種旋轉方式，分别為：左旋轉，右旋轉，左右旋轉（先左後右），右左旋轉（先右後左），實際上，這四種旋轉操作兩兩對稱，因而也可以說成兩類旋轉操作。
基本的資料結構：
1 typedef struct Node* Tree;
2 typedef struct Node* Node_t;
3 typedef Type int;
4
5 struct Node{
6 Node_t left;
7 Node_t right;
8 int height;
9 Type data;
10 };
11 int Height(Node_t node) {
12 return node->height;
13 } 3.1 LL
LL情況需要右旋解決，如下圖所示：
1 Node_t RightRotate(Node_t a) {
2 b = a->left;
3 a->left = b->right;
4 b->right = a;
5 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
6 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
7 return b;
8 } 3.2 RR
RR情況需要左旋解決，如下圖所示：
1 Node_t LeftRotate(Node_t a) {
2 b = a->right;
3 a->right = b->left;
4 b->left = a;
5 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
6 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
7 return b;
8 } 3.3 LR
LR情況需要左右（先B左旋轉，後A右旋轉）旋解決，如下圖所示：
1 Node_t LeftRightRotate(Node_t a) {
2 a->left = LeftRotate(a->left);
3 return RightRotate(a);
4 } 3.4 RL
RL情況需要右左旋解決（先B右旋轉，後A左旋轉），如下圖所示：
1 Node_t RightLeftRotate(Node_t a) {
2 a->right = RightRotate(a->right);
3 return LeftRotate(a);
4 } 4. AVL數的插入和删除操作
(1) 插入操作：實際上就是在不同情況下采用不同的旋轉方式調整整棵樹，具體代碼如下：
1 Node_t Insert(Type x, Tree t) {
2 if(t == NULL) {
3 t = NewNode(x);
4 } else if(x < t->data) {
5 t->left = Insert(t->left);
6 if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {
7 if(x < t->left->data) {
8 t = RightRotate(t);
9 } else {
10 t = LeftRightRotate(t);
11 }
12 }
13 } else {
14 t->right = Insert(t->right);
15 if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {
16 if(x > t->right->data) {
17 t = LeftRotate(t);
18 } else {
19 t = RightLeftRotate(t);
20 }
21 }
22 }
23 t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
24 return t;
25 } (2) 删除操作：首先定位要删除的節點，然後用該節點的右孩子的最左孩子替換該節點，并重新調整以該節點為根的子樹為AVL樹，具體調整方法跟插入資料類似，代碼如下：
1 Node_t Delete(Type x, Tree t) {
2 if(t == NULL) return NULL;
3 if(t->data == x) {
4 if(t->right == NULL) {
5 Node_t temp = t;
6 t = t->left;
7 free(temp);
8 } else {
9 Node_t head = t->right;
10 while(head->left) {
11 head = head->left;
12 }
13 t->data = head->data; //just copy data
14 t->right = Delete(t->data, t->right);
15 t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
16 }
17 return t;
18 } else if(t->data < x) {
19 Delete(x, t->right);
20 if(t->right) Rotate(x, t->right);
21 } else {
22 Delete(x, t->left);
23 if(t->left) Rotate(x, t->left);
24 }
25 if(t) Rotate(x, t);
26 } 5. 總結
AVL樹是最早的自平衡二叉樹，相比于後來出現的平衡二叉樹（紅黑樹，treap，splay樹）而言，它現在應用較少，但研究AVL樹對于了解後面出現的常用平衡二叉樹具有重要意義。
作者：xingoo