《機器人與數字人：基于MATLAB的模組化與控制》——2.2節李群和李代數

本節書摘來自華章社群《機器人與數字人：基于matlab的模組化與控制》一書中的第2章，第2.2節李群和李代數，作者［美］顧友諒（edward y.l.gu），更多章節内容可以通路雲栖社群“華章社群”公衆号檢視

2.2李群和李代數

在數學中［4,5］，與集合論不同，群論在研究集合或者一組元素時，通常連同其某種運算一起研究。

定義1一個群是由一個集合g連同其布爾運算“”來定義的，并滿足如下條件。

所有實整數與加法相關聯形成加法群，但與乘法因為違反了交換律條件而不成立。所有實數(複數)與加法或乘法分别組成加法群或者乘法群，它們也能成為域，稱為實數域(複數域)。

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如果集合連同某一運算滿足所有條件（除了交換律之外），即使機關律條件仍能保持，那麼，集合也隻能形成半群。相比之下，三維實向量的集合在瘙綆3空間下的叉積既不是群也不是半群，因為它不滿足結合律、機關律和交換律條件。

根據元素的個數和元素變換屬性，群可以分為有限群和無限群、離散群和連續群。李群是典型的無限連續群。例如，所有n×n階非奇異實數矩陣與乘法運算形成線性李群gl(n)。所有n×n階正交實數矩陣與乘法運算形成正交李群o(n)，進一步把正交李群o(n)的正交矩陣的行列式變為+1，它将變成特殊正交群。每一個旋轉矩陣屬于特殊正交群——so(3)群。

然而，許多有用的集合在某種二進制運算中違背任意一個或者更多群定義的條件時，即使它們非常有用，也不是群。為了對它們進行進一步研究和應用，就需要解除限制。李代數是最典型和重要的方法之一，可以挽救被群的定義排除的有用集合。

定義2李代數在實數域瘙綆或者複數域瘙綇上的向量空間，存在雙線性映射(x,y)→［x,y］定義為×→，而且

上述定義中的第二個方程稱為雅可比恒等式。現在，所有的三維實向量連同叉積運算構成李代數，即使它們不是李群。對于a×b=［a,b］=c，可以改寫為s(a)b=c，其中s(a)是向量a∈瘙綆3的3×3斜對稱矩陣。也就是說，［a,·］=s(a)·=a×是一種運算。這種李代數常用小寫字母定義為so(3)。例如，如果給定兩個向量為

在數學史上，李群和李代數的最重要理論發現之一是如下的指數映射：

exp:so(3)→so(3)(26)

這種映射意味着，對于每個3×3斜對稱矩陣s∈so(3)，其指數函數exp(s)=r∈so(3)始終是旋轉矩陣。換句話說，指數映射可以将任何有限次元的李代數轉化為李群。這種映射非常有用，作為機器人運動學的理論基礎，可以用來表達坐标系旋轉和姿态［4, 6, 8］ 。