本節書摘來自華章計算機《從問題到程式：用python學程式設計和計算》一書中的第3章，第3.3節,作者：裘宗燕 更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視。
本節讨論一個與循環和遞歸有關的重要問題：程式的終止性。一個程式的執行是否一定結束，這是一個很重要的問題。例如程式對所有可能的輸入是否都能結束（終止），或者函數對所有的參數是否都能終止并給出結果。如果一個程式對于某些輸入（或一個函數對于某些參數）不終止，遇到這些輸入或參數，程式就會無窮無盡地運作下去，既不給出結果，也不報告運作錯誤。這種情況通常也不符合使用者的需要。在很多實際應用中，這種情況是絕對不能允許的。請考慮一部汽車的刹車控制程式。
首先可以想到，隻要程式裡的每個基本語句都終止，直線型和分支型程式就必然終止。但循環程式的情況則不同，即使循環體中的語句保證終止，這個循環也可能不終止。如果在一個while循環的執行中，循環體裡語句的執行不能把循環條件變為假，這個循環就會無休止地繼續下去，循環之後的語句永遠也得不到執行的機會。遞歸函數（遞歸程式）也存在類似的問題，它也可能無窮無盡地遞歸調用下去 。
但另一方面，有些程式可能确實需要運作很長時間，等了很久也沒有得到結果，并不一定說明這個程式不能結束。
3.3.1 調和級數的部分和
看一個例子：由數學知識可知，下面調和級數的部分和增長非常慢：
現在希望了解這個部分和的增長情況，考察該級數的前多少項之和能超過某個給定的數。可以定義下面的函數：
用一些參數值做試驗：
可以看到，程式輸出3個結果後很長時間都沒有進一步的動靜。在這種情況下，我們沒有辦法判定究竟是程式出了問題，永遠不會結束，還是過一會就能得到結果。為了了解程式運作的情況，可以考慮在循環裡加一個輸出資訊的語句：
這個語句要求每一百萬次循環輸出一次部分和。在執行harmony(20)時，可以看到輸出的值慢慢地增長。隻要等的時間足夠長就能得到結果。但如果調用harmony(25)，考慮到浮點數的計算誤差等，我們還能得到結果嗎？請讀者考慮這個問題。
3.3.2 程式終止性不可判定
有關程式的終止性問題，被人們稱為計算機之父的英國數學家圖靈給出了一個理論結論（1934年）：程式終止性問題是不可判定的。也就是說，我們不可能做出一個判斷程式終止性的軟體工具，使其對任何程式和程式的任何輸入，都能給出該程式将終止或不終止的結論。在實際中，有時判斷一個程式是否終止也很困難。看下面的簡單程式。
【例】本問題稱為collatz猜想（collatz conjecture）。德國數學家lothar collatz猜想下面函數對所有正整數n終止：
如果這個函數對所有的正整數終止，那也就是說，對于任何正整數參數，本函數的值總是1，是以它就等價于總得到1的常函數。
很容易寫出python程式實作這個函數。下面是一個循環實作：
人們用大量的正整數試驗這個函數，發現它都終止，但至今無人能嚴格證明collatz猜想是正确的（即函數collatz終止），也沒人能證明這個猜想不正确，沒找到能使collatz函數不終止的輸入。人們通過試驗發現，采用一些參數，變量n可能經曆非常大的值或反複上下跳躍，但最終都能達到1，但卻沒有找到任何有價值的規律。
讀者可以基于上面程式做一些試驗，例如檢查它對具體的參數疊代多少次後才能達到1，或者考察在此過程中曾經達到的最大數值等。
雖然有上面的理論結論，我們不可能做出完成終止性判斷的系統（工具），但在實際工作中還是需要考慮這個問題，通過對具體程式的具體分析，設法确定自己寫出的程式一定能終止。這裡的基本問題就是檢查程式裡的循環或者遞歸，設法确認它們一定終止。隻要疊代器給出的序列有窮，相應的for循環一定終止。對于while循環，一種常用方法是設計一個基于循環中變量的整型表達式，證明該表達式的值随着一次次疊代嚴格下降，但其值一定不小于某個數（例如0）。如果這樣的表達式存在，該循環就一定終止。這裡不再深入，有關算法的專門書籍都有這方面讨論。
重看前面的程式，其中的大多數循環的終止性都比較容易判斷。另一些程式的終止性有數學上的保證，例如牛頓疊代法等。