《ANSYS 14熱力學/電磁學/耦合場分析自學手冊》——1.2 有限元法簡介

本節書摘來自異步社群《ansys 14熱力學/電磁學/耦合場分析自學手冊》一書中的第1章，第1.2節,作者： 胡仁喜 , 張秀輝 更多章節内容可以通路雲栖社群“異步社群”公衆号檢視。

ansys 14熱力學/電磁學/耦合場分析自學手冊

1.2.1 有限元法的基本思想

在工程或實體問題的數學模型（基本變量、基本方程、求解域和邊界條件等）确定以後，有限元法作為對其進行分析的數值計算方法的基本思想可簡單概括為如下3點。

将一個表示結構或連續體的求解域離散為若幹個子域（單元），并通過它們邊界上的結點互相聯結為一個組合體，如圖1-3所示。

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（2）用每個單元内所假設的近似函數來分片地表示全求解域内待求解的未知場變量。而每個單元内的近似函數由未知場函數（或其導數）在單元各個節點上的數值和與其對應的插值函數來表達。由于在聯結相鄰單元的節點上，場函數具有相同的數值，因而将它們作為數值求解的基本未知量。這樣一來，求解原待求場函數的無窮多自由度問題轉換為求解場函數節點值的有限自由度問題。

（3）通過和原問題數學模型（例如基本方程、邊界條件等）等效的變分原理或權重餘量法，建立求解基本未知量（場函數節點值）的代數方程組或常微分方程組。此方程組成為有限元求解方程，并表示成規範化的矩陣形式，接着用相應的數值方法求解該方程，進而得到原問題的解答。

1.2.2 有限元法的特點

（1）對于複雜幾何構形的适應性：由于單元在空間上可以是一維、二維或三維的，而且每一種單元可以有不同的形狀，同時各種單元可以采用不同的連接配接方式，是以，工程實際中遇到的非常複雜的結構或構造都可以離散為由單元組合體表示的有限元模型。圖1-4所示為一個三維實體的單元劃模型。

（2）對于各種實體問題的适用性：由于用單元内近似函數分片地表示全求解域的未知場函數，并未限制場函數所滿足的方程形式，也未限制各個單元所對應的方程必須有相同的形式，是以它适用于各種實體問題，例如線彈性問題、彈塑性問題、粘彈性問題、動力問題、屈曲問題、流體力學問題、熱傳導問題、聲學問題、電磁場問題等，而且還可以用于各種實體現象互相耦合的問題。圖1-5所示為一個熱應力問題。

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（3）建立于嚴格理論基礎上的可靠性：因為用于建立有限元方程的變分原理或權重餘量法在數學上已證明是微分方程和邊界條件的等效積分形式，是以隻要原問題的數學模型是正确的，同時用來求解有限元方程的數值算法是穩定可靠的，則随着單元數目的增加（即單元尺寸的縮小）或者是随着單元自由度數的增加（即插值函數階次的提高），有限元解的近似程度不斷地被改進。如果單元是滿足收斂準則的，則近似解最後收斂于原數學模型的精确解。

（4）适合計算機實作的高效性：由于有限元分析的各個步驟可以表達成規範化的矩陣形式，最後導緻求解方程可以統一為标準的矩陣代數問題，特别适合計算機的程式設計和執行。随着計算機硬體技術的高速發展以及新的數值算法的不斷出現，大型複雜問題的有限元分析已成為工程技術領域的正常工作。