極錐

　　對于任意非空集合$c$，都有一個錐與其關聯，稱作$c$的極錐(polar

cone)，定義如下：\begin{align*} c^* = \{ \boldsymbol{y} \ | \

\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x} \leq 0, \forall \boldsymbol{x} \in c

\}. \end{align*}若$c$本身就是閉凸錐，那麼$c^*$可以從對偶的角度，給$c$提供一個等價的描述。

　　顯然$c^*$是閉半空間的交集，故$c^*$是閉凸錐，這與$c$的閉凸性無關。若$c$是子空間，則$c^*$是$c$的正交子空間$c^\perp$，易知有$c

=

(c^\perp)^\perp$。下面這個命題是其更一般化的結論，其中(b)中的極錐定理在例1.6.4裡已經通過共轭定理給出了證明，這裡給出另一個利用投影定理的證明。

　　命題2.2.1：

對于任意非空集合$c$有\begin{align*}

c^* = (cl(c))^* = (conv(c))^* = (cone(c))^*. \end{align*}

對于任意非空錐$c$有\begin{align*}

(c^*)^* = cl(conv(c)), \end{align*}特别地，若$c$是閉凸的，則$(c^*)^* =

c$。

　　證明：

易知對于任意兩個集合$x$和$y$，若$x

\subseteq y$，必有$y^* \subseteq x^*$，故$(cl(c))^* \subseteq c^*$。若$y \in

c^*$，則對于任意序列$\{\boldsymbol{x}_k\} \in c$有$\boldsymbol{y}^\top

\boldsymbol{x}_k \leq 0$，于是對于任意$\boldsymbol{x} \in

cl(c)$有$\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x} \leq 0$，故$\boldsymbol{y} \in

(cl(c))^*$，于是$c^* \subseteq (cl(c))^*$，綜上有$c^* =

(cl(c))^*$。

同理由$c

\subseteq conv(c)$知$(conv(c))^* \subseteq c^*$，若$y \in

c^*$，則對于任意$\boldsymbol{x} \in c$有$\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x}

\leq 0$，那麼顯然對于任意$\boldsymbol{z} \in conv(c)$有$\boldsymbol{y}^\top

\boldsymbol{z} \leq 0$，故$\boldsymbol{y} \in (conv(c))^*$，于是$c^*

\subseteq (conv(c))^*$，綜上有$c^* = (conv(c))^*$。

同理可證$c^*

= (cone(c))^*$。

先證明當$c$是閉凸錐時的情況，對于任意$\boldsymbol{x}

\in c$，對于任意$\boldsymbol{y} \in c^*$有$\boldsymbol{y}^\top \boldsymbol{x}

\leq 0$，故$\boldsymbol{x} \in (c^*)^*$，于是$c \subseteq

(c^*)^*$。對于任意$\boldsymbol{z} \in

\mathbb{r}^n$，設其在$c$上的投影是$\hat{\boldsymbol{z}}$，由投影定理知\begin{align*}

(\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top (\boldsymbol{x} -

\hat{\boldsymbol{z}}) \leq 0, \ \forall \boldsymbol{x} \in c,

\end{align*}由于$c$是閉凸錐，故$0 \in c$，$2 \hat{\boldsymbol{z}} \in

c$，分别代入上式可得\begin{align*} (\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top

\hat{\boldsymbol{z}} = 0, \end{align*}于是由上兩式可得\begin{align*}

(\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top \boldsymbol{x} \leq 0, \

\forall \boldsymbol{x} \in c, \end{align*}故$\boldsymbol{z} -

\hat{\boldsymbol{z}} \in c^*$。是以對于任意$\boldsymbol{z} \in

(c^*)^*$有$(\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top \boldsymbol{z}

\leq 0$，結合$(\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}})^\top

\hat{\boldsymbol{z}} = 0$可得\begin{align*} (\boldsymbol{z} -

\hat{\boldsymbol{z}})^\top (\boldsymbol{z} - \hat{\boldsymbol{z}}) \leq

0, \end{align*}故$\boldsymbol{z} = \hat{\boldsymbol{z}} \in c$，于是$(c^*)^*

\subseteq c$，綜上可得$(c^*)^* = c$。

若$c$不是閉凸錐，由上面的推理知\begin{align*}

((cl(conv(c)))^*)^* = cl(conv(c)), \end{align*}由(a)知$c^* =

(cl(conv(c)))^*$，于是結合上兩式可得$(c^*)^* = cl(conv(c))$。

　　對于任意非空凸集$c$，由(a)知$c^*

= (cl(cone(c)))^*$，又$cl(cone(c))$是閉凸錐，由(b)知$cl(cone(c)) =

((cl(cone(c)))^*)^* = (c^*)^*$。