本文内容由好玩的數學節選自《迷人的邏輯題》，[英] alex bells 著，胡小銳譯，中信出版社2018年10月出版，有删改，轉載請注明出處。
在一個早期的福爾摩斯系列故事《修道院公學》（the adventure of the priory school）中，福爾摩斯僅憑借自行車留下的兩列車輪印，就推斷出那輛自行車的前進方向。他向華生解釋了他的推理過程：“自行車的重量都落在後輪上，是以後輪留下的車輪印當然會更深。你看，有幾個地方，深的車輪印從淺的上面碾過，完全蓋過了淺的車輪印。毫無疑問，這輛自行車正在離開修道院。”
我不是很明白他的推理。但是，不管騎自行車的人往哪個方向走，後輪都會蓋過前輪留下的印痕，不是嗎？
其實，利用車輪印痕的确有可能推斷出自行車的前進方向，但福爾摩斯的作者阿瑟·柯楠·道爾爵士（sir arthur conan doyle）錯過了一個自我表現的機會。
自行車的智力趣題
01
下圖是騎車人留下的車輪印，請問他的行進方向是從左向右還是從右向左？
圖1
福爾摩斯說的沒錯，你先要先分出哪條車輪印是前輪留下來的，哪條是後輪留下來的。但是，你無須知道車輪印的深淺，就可以完成這項工作。
要推斷出自行車的行進方向，我們先要确定哪條車輪印是前輪留下來的，哪條是後輪留下來的。
如果車輪印是直的，車輪的行進方向就與車輪印的方向一緻。然而，如果車輪印是彎曲的，車輪的行進方向就會與車輪印上各個點的切線方向保持一緻。(切線是指與某條曲線隻有一個接觸點的直線)。為便于了解，請仔細觀察下圖2中獨輪車留下的車輪印。車輪在點a、點b和點c時的朝向分别與我标出的各條切線方向一緻。
圖2
自行車有兩個車輪，前輪可以指向任意方向，而後輪在行進方向上沒有自由——它必須始終指向前輪的行進方向。
是以，無論後輪在哪個位置，前輪都在後輪印的切線方向上，且與後輪之間的距離一定等于自行車的車身長度。換句話說，後輪印的所有切線一定都會與前輪印相交，且切點與交點間的距離一定等于車身長度。
現在，請大家檢視下圖（圖3）中粗線上的點d。該點的切線與兩條車輪印都不相交。是以，我們可以斷定點d所在的那條曲線不是後輪印，而是前輪印。
圖3
現在，我們可以确定自行車的行進方向了。我們知道哪條車輪印是後輪留下的，上面的讨論還告訴我們，沿後輪印上的任意一條切線，朝着自行車的行進方向前進一輛自行車的車身長度，就會與前輪印
相交于某一點。是以，我們在後輪印上任取兩點e、f，分别畫出後輪印的切線，觀察這兩條切線與前輪印相交的情況。從圖4可以看出點e和f左側的兩條線段長度相等，而右側的兩條線段長度不相等。車輪之間的距離在行進過程中是不會改變的，由此可見，自行車的行進方向是由右向左。太簡單了！
圖4
02
一位攝影師正在拍攝運動中的自行車。自行車沿着水準道路行駛，但我們不知道它的方向是從左向右，還是從右向左。不過方向并不重要。自行車的輪呈圓盤狀，上面有兩個五邊形标志。請問下面兩個圖形中，哪一個是攝影師拍攝的照片？
圖5
我特别喜歡這個問題，因為它反映了一個奇怪的現象：車輪的頂部總是跑得比底部快。
車輪沿着水準面滾動時，車輪上的點需要完成兩個不同方向上的運動。它們需要沿着車輪前進方向水準運動；此外，它們還需要繞着車輪中心旋轉。這兩個方向上的運動有時互相補充，有時又會互相抵消。我們在車輪上任取一個點。如下圖（圖6）所示，當該點位于車輪頂部(點a處)時，該點的水準運動和旋轉運動就會互相補充。但是，當這個點在車輪底部(點b處)時，水準運動和旋轉運動的方向正好相反，就會互相抵消。從觀察者的角度看，車輪滾動時，頂部的速度一直是車輪水準速度的兩倍，而車輪底部一直是靜止的。由此可見，輪子下半部分各點的運動速度比上半部分各點要慢。
圖6
是以，正确答案是第二幅圖。因為在這幅圖中，上面的五邊形模糊，而下面的五邊形非常清晰。如果攝影師将相機的曝光時間設定得足夠短，速度慢的那個五邊形就會留下清晰的圖像，但速度快的那個五邊形肯定比較模糊。如果你喜歡畫畫，可能馬上就會明白其中的道理。在畫運動的車輪時，頂部經常會做模糊處理。
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