之前已經提過，移動零維的點形成的軌迹就是一維的線，而此時的直線或曲線是連續性的線。反過來說就是，連續性的一維空間是由無數的點構成的。
如上所述，歐幾裡得在《幾何原本》中寫到了“直線上的點均勻存在”這句話，但點如果這樣存在的話究竟意味着什麼，關于這一點他隻字未提。
然而關于線上的點，在歐幾裡得之前已經有人考察過。那就是公元前5世紀生活在古希臘殖民地埃利亞，也就是現在的意大利半島南部的哲學家芝諾。
他以提出著名的“阿基裡斯悖論”而聞名。這一悖論揭示了具有連續性的一維空間是由無數的點構成的。芝諾在悖論中作出如下論證，證明以速度著稱的古希臘神話中的英雄阿基裡斯絕對跑不過慢吞吞的烏龜。
阿基裡斯和烏龜的悖論
阿基裡斯從烏龜後面朝着和烏龜一樣的方向跑。假定阿基裡斯的速度是烏龜的兩倍，但當他到達烏龜所在的位置時，烏龜已經跑在了前面（領先阿基裡斯跑的路程的1/2）。阿基裡斯到達那個地點時，烏龜依然領先阿吉裡斯所跑路程的1/2。阿基裡斯和烏龜的距離縮短為初始距離的1/2、1/4、1/8、1/16……但是兩者之間的距離（線）可以無限分割，這樣反複無限分割，阿基裡斯便怎麼也追不上烏龜了——這個乍一看令人不明是以的悖論的前提是:一維的線有無窮多個點組成。
在芝諾之後又過了約2000年，人們對一維的了解到了更深的層次。19世紀的德國數學家理查德·戴德金在數學上證明了這樣一個事實:把一根線切成兩段所形成的點無論記錄多少個都不能完全填補一維空間，也就是說，即使無限分割，也不足以形成一維線所必須的“連續性”。
我們在數數和測量時用到的“數字（号碼）”，自古以來就被看作是一維的直線。向身邊的尺子和溫度計一樣，在直線上标上刻度數字（稱為“數軸”），使被标記的整數分散排列。但是如果存在像1/2或1/3這樣可以用整數比來表示的數值（有理數），數軸上便存在無窮多個數字，因為無論是617/2839還是850325/1048576都屬于有理數。
如芝諾所述，兩個數值之間，無論他們之間的內插補點多小，都存在着無數的有理數，是以它們是連續的。但是戴德金為了反證這一點想出了“分割線”的方法。對于直線分割後斷點兩側數值是否存在進行調查，被稱為“戴德金分割”。
戴德金分割
如果使用這種方法，就可以發現其中一個截點一定是無理數，即用整數比也無法表示的數值。在一維數軸中把無理數添加進有理數中，就可以首次實作實數的完整。換句話說，這表示在數軸上存在所有實數點。