圖1 吳文俊
我想今天談一下數學教育的現代化問題，對這樣一個大的、重要的而且是複雜的問題，不是一個人随便說了就算數的，應該是經過充分讨論、集思廣益，來産生一個共識。
我說的這個現代化，實際上是指機械化。這當然也是我個人主觀的看法，大家可以有許多不同的看法。
所謂數學教育是相對于數學研究而來的，這是兩個非常不同的範疇。作為數學研究，你要重視創新，可是作為數學教育，你就不能随便創新，而且最好避免随便創新，從影響來講這也不一樣：比如說數學研究，我若寫一篇大論文，可以得菲爾茨獎，而這對社會對經濟會有什麼影響？這個可以說談不上，對數學本身你說這篇大論文能起什麼大的影響？也很難說。可是數學教育就不一樣了，這一影響可以很大——弄得好，可以使得數學今後的面貌完全不一樣；弄得不好，就會引起許多災難。
這個災難也不是随便瞎想的。事實上，是出現過這樣的災難的。我們在60年代中期到70年代中期經曆了一場文化大革命。差不多在同時，在國外，主要可能是在法國和美國，在數學領域也出現了一場“文化大革命”。當時，就在數學裡邊推廣所謂的“新數學”，也就是當時認為的“現代化”的數學。這個“現代化”的數學，把當時研究最活躍的，比如說拓撲學的内容放到中國小的一些課程裡面去，放進一些拓撲的概念等内容，還有許多其他的改革。總的說起來，我說他們的這一場“新數學”運動或者“數學現代化運動”中的“現代化”是極端非機械化的數學。大家可能都知道，這一場現代化的新數學運動，引起了數學教育方面的一場災難。我想，我們幸好那個時候正好是文化大革命，是以對于這場國外的“文化大革命”沒怎麼跟上。等到我們的文化大革命結束了，他們的“文化大革命”也以失敗而告終了。否則，我們要是也跟上他們幹了的話，我們也會引起一場災難。
可是另外，我們也有一些方面引起一些不好的後果。當然由于我幾十年沒有怎麼接觸學校教育，可能不是那麼回事。好像有一個時期，我們在中學裡邊，把解析幾何或者取消了，或者削減到了一個很少的程度。那麼，這個後果之一呢，就是等到大學學習微積分的時候你先得花幾個月的時間來補這個解析幾何。我不知道是不是這樣一種情況，我說這也是近似一場災難，當然沒那麼厲害。是以說，數學教育的影響很大，不能随便來。這和數學研究不一樣，研究工作為了創新，我可以橫沖直撞。可是數學教育作為教育你就必須慎重其事，要非常仔細，不能随便亂來。稍微一個做得不對，就要引起很大的後果。
我本來是跟數學教育幾十年完全脫節了的，但說實在話，我對數學教育是一直很感興趣的。對于推行機械化，過去是條件不具備，現在呢，條件相當成熟了，主要方面的條件都比較成熟了。剛才已經談到，搞不好，會有類似新數學的這種危險。可是另外一方面，既有右的危險，也有左的危險。我說新數學的危險是由于推行極端非機械化産生的一種危險。可是你假定推行機械化的話，如果你推行不當，也可以産生許多危險。是以對于這個地方右的、左的都可以産生很壞的影響。
我舉一個例子，要搞所謂的機械化，那當然要使用計算機了，那麼計算機在中國小裡面推行，這當然很重要。計算機從娃娃的時候學起，我非常贊成。可是假設學習不當，你就會連加減乘除也學不成，國小裡邊的學生學加減乘除時，你說我有一個電腦，我把一個數字輸進去，再把一個數字輸進去，一加一乘馬上就出來了。你要這個樣子去學的話，那麼學生非但加減乘除學不會，而且以後的整個的數學、科學技術就都不可能學會。我說這是一個非常的危險，這個危險大概不會出現。可是另外有一種危險可以用形形色色的方式，引起對計算機的認識上的問題。使用得不當，還可以引起各種各樣的危害的後果。是以，盡管我是不可能涉足，可是我想還是借這個機會談一下我對這個問題的看法，因為這個問題比較重要。當然，我的話可能有許多錯誤，尤其可能跟現在的教學情況不符。可是我想，盡管我不在其位，現在還是要謀一下政。我現在來談一談我個人的看法。
圖2 計算機
大學中的現代化問題，或者照我的看法，所謂機械化的問題，現在談起來為時過早，可能要到21世紀再談比較合适。是以我想談的主要是中國小範圍裡邊的數學現代化，或者照我的看法，所謂數學機械化的問題。
解放前，我自己教過好些年的中學，大概有5年，我教的中學都是隻有國中和國小的初級中學，我隻有半年好像是在一個高中代過課，可真正的高中課沒教過。我覺得，中國小内容，數學教學内容跟大學的教學内容有一個非常不同的地方。就是大學的教學内容，基本上用我現在的話講是非機械化的，大體上是非機械化的，而且是西方的，是17世紀以後的西方的數學的内容。
可是中國小的數學内容，我想借用一個叫做斯托羅克（既搞微分幾何又搞數學史）的話，他寫過一本叫做《數學簡史》的書，這個裡邊講到，西方以外的這個數學，他起了個名字叫做東方數學。他說中國小裡邊的數學，跟我們現在搞數學的人接觸的大學數學和數學研究的那種數學味道非常不同，他把它叫做東方數學。取名為東方數學，說明中國小裡邊的數學是來源于東方的數學。
我說這個東方應該主要是指中國。我說他的這個說法非常對，整個中國小的數學的教學内容，基本上是東方的也就是中國的，或者說是機械化的。大學教育内容是西方的，大體是非機械化的；可是中國小的數學内容，大部分、基本上、主要的部分是東方式的，是東方數學，是機械化的數學。
那麼，我們現在來檢查一下怎麼樣的才是東方的，是機械化的。先來看一下國小，在國小，我們首先要講四則運算，加減乘除，還有開方等等。其次可能還有比例，有一些我不知道，因為具體内容我不太清楚，還有其他的一些，可能還有一些統計的常識，我在解放前有一段時間還要學習珠算。大體上是這樣，現在可能有很大的變動了。不過，你的基本内容是不能取消的，這是最根本的。此外，解放前到了國小六年級有整整差不多一年，搞所謂四則難題，我也教過國中，到了國中，第一年一年級整整一年又講四則難題，就是對這個四則難題，在解放前我那個時候，學生差不多花了整整兩年時間來學習，現在情況我不知道。
那麼四則難題的内容是什麼呢？我舉一個典型的例子，就是雞兔同籠。這個推理過程，可以說邏輯推理是非常嚴格的，思維是非常巧妙的，若要我說，這是用了一些奇招、怪招算出來的。
圖3 雞兔同籠
那麼整整國小六年級和國中一年級這個兩年裡面，就要學習許許多多諸如此類的四則難題，學習許多奇招怪招。這些奇招怪招如果學多了，對于邏輯推理、思維能力等等，的确是起了一定的作用，可是你學了那麼多會有什麼用？當然奇招怪招學的越多，本領就越大，可事實上，将來你能夠用的，我想不會碰到，碰到的機會是微乎其微的。
大概現在不是這樣的，我不知道是從什麼時候開始的，過去的國中是從國中二年級開始學習代數，用代數的方法來處理諸如此類的問題，四則難題就變得非常容易了。對于雞兔同籠之類的許多四則難題，你若用代數的方法來做，就會變得非常容易。更重要的是，盡管這種四則難題制造了許許多多的奇招怪招，但是你跑不遠、走不遠，更不能騰飛，談不上，遠遠談不上騰飛。可是你要是引進代數方法，這些東西就都變成了不必要的，平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不着天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠而且可以騰飛。是以四則難題用代數取而代之，這是完全正确的，對于數學教育這是非常重要的。我說不能在奇招怪招上消耗時間太多，消耗時間太多是錯誤的。但我并不是說完全排除不要，你可以不是花整整兩年的時間，而是把比如說幾個月的時間，兩三個月的時間花在這些難題上面，然後再講代數的方法，把這些難題用奇招怪招做的和用代數方法做的做一個對比，我想這樣應該是比較有效果的，我不知道現狀是怎麼樣的。我是非常反對那種做法的，你看他好像學了很大的本領——這一個是一個巧妙的，那一個又是一個巧妙的，其實他做不了什麼大事，你要想上升或者說騰飛根本談不上。
這是我講的國小裡邊的情形。這個地方我有必要說一下，我說國小裡邊的内容以四則運算為主，再進一步到代數方法的話，那這些内容就都是機械化的，這個機械化的内容是以能夠很容易地在國小裡邊能夠學到，主要的一個關系是因為它是機械化的，不需要像四則難題那樣一定要用巧妙的想法，而是能夠比較機械地進行。關鍵是，加減乘除這些方法，是借助在位值制的所謂位值制的數字表達上面的。這個位值制對進位制是很大的一個飛躍，不是一個簡單的改進。我們知道十進位、二進位，而機器裡邊的這個二進位的111，同樣的這個1位置不同，它代表的意義就不同，假定說化成十進位的話，最右邊的1就是2^0，中間的1是2^1，左邊的1則是2^2，同樣的1表示不同的意義。同樣的符号由于位置的不同，它的取值就不同，這就叫位值制。這個位值制比簡單的進位制内涵不知要廣多少，對于這一點一般是不太認識的。
圖4
我簡單地說，進位制是隻有中國有。我不是說外國沒有進位制，比如說拉丁美洲的瑪雅民族有20進位制，埃及有十進位制，巴比倫有60進位制。可這種進位制都是不完全的，是殘缺不全的。而隻有中國的十進位制才是完全的，而且我們非但有完整的進位制，還有所謂位值制，這是很關鍵的一步，對于這一點一般是不太容易了解的。是以現在我來介紹拉普拉斯的一段話，拉普拉斯是這樣講的：“現在有所謂非常聰明的一個方法，把所有的數用10個字母表示出來，同時給他們一個絕對的位置的值。”這就是位值，就是對每一個位置，這三個1位置不同，不同的位置給它以不同的位值，“這個聰明的方法是從印度那兒來的。”
最後一句顯然是錯誤的。印度的數學表達方式簡直是不可思議的。西方往往以為所有從東方來的數學都是從印度來的，這個我們不去管它了。他說“用10個數字表達任意的數字，每一個數字由于不同的位置給它以不同的位值。這個聰明的方法是從印度那兒來的。這個想法是非常精緻而且重要的，它看起來好像這樣簡單，正是由于非常簡單，是以我們不能足夠地認識它的功績。可是正是由于它的非常的簡單性跟它的極端的便利性，使得這個方法可以傳達到所有的計算，又可影響到所有的計算，使得我們的算術的系統，可以放在有用的發明的第一流的位置。至于發明這樣的一個方法是多麼困難呢，可以從下面這個事實看出來：就是有兩位曆史上、古代最偉大的人物，兩個天才人物，一個是阿基米德，一個是阿波羅尼，像這樣兩個偉大的天才人物都不能夠發現這樣重要的事情，就說明發現這樣一個方法決不是一個容易的事情。”這是引了拉普拉斯的一段話。
圖5 阿基米德
我引這個話是因為現在可能有許多人對位值制不太注意，對于位值制的重要性不太認識，是以我就說明一下。我說正是由于中國古代發明了完整的進位制而且還創造了位值制，才使得各種運算如加、減、乘、除、開方等等成為可能。希臘時候是沒有開方，不會開方的，這是有書為證的。加減乘除怎麼樣，我不知道，因為沒有書為證，我不好随便說。
正是有了這樣的位值制，是以我們才能把算術變得非常簡單，才使運算、計算變得非常簡便，而且經得起曆史的考驗。我想的話起碼兩千年或者我想至少要好幾千年。一直到現在，中國小裡邊你能夠取消這些東西嗎？是以我說完全是經得起曆史考驗的。
注：本文轉自公衆号“和樂數學”